 |
| 15 راه ساده براي رسيدن به موفقيت |
|
ممکن است تصور کنید که شما راهتان با آن دسته افراد موفقی که پیوسته کامیابی های تازه حاصل می کنند یکی نباشد. البته ممکن است آنها توانایی هایی داشته باشند که شما فاقد آن هستید، اما همیشه به یاد داشته باشید: موفقیت آموختنی است و تنها تفاوت شما با آنها این است که آنها همیشه یک سری عادات خاص را به کار می بندند و این باعث کامیابیشان می شود. موفقیت همین است: جمع راه و روش های زندگی هوشمندانه. در اینجا به چند مورد از این شیوه ها اشاره می کنیم.
1- با دقت لباش بپوشید اگر مثل یک فرد موفق لباس بپوشید، دیگران هم مثل یک فرد موفق با شما برخورد میکنند. پس در شیوه ی لباس پوشیدنتان تجدید نظر کنید.
2- مثل برنده ها بیندیشید
3- جزئی از یک گروه باشید
4- پویشگر باشید
5- احساسات خود را به روشنی بیان کنید
6- همیشه نتیجه را در ذهن داشته باشید
7- بدانید چطور پشت تلفن صحبت کنید
8- منظم باشید
9- انتقاد نکنید
10- مودب باشید
11- هر از گاهی مسئولیت مشکلی را بر عهده گیرید
12- با انتقادات دیگران از شما به خوبی برخورد کنید
13- الگو باشید
14- صبور باشید
15- چیزهای جدید بیاموزید راهی به سوی موفقیت |
|
مقاله بالا بر گرفته از سایت مردمان دات کام می باشد. www.Mardoman.com |
 | ||
| ||
حال فرض کنید x مثبت باشد. عبارت 
را محاسبه کنید و به دست آورید:
.
را قرار دهید. با محاسبه ای مختصر به تابع سمت راست می رسیم. در نتیجه از حل معادله 
تنها جواب معادله 
به دست می آید.
. حال f را 1977 بار با خودش ترکیب کنید و حاصل را تابع g بنامید. 
را حساب کنید.
یک برنامه به نام فارسی تِک وجود داره برای تایپ فارسی و انگلیسی و فرمول و هر آنچه که شما بخواهید.
تنها بدی این برنامه داشتن کمی برنامه نویسی است ولی خروجی آن خیلی زیباست. خیلی از کتابهایی که فرمول دارن با این نرم افزار نوشته می شن. برای دریافت نسخه رایگان این برنامه به سایت http://www.farsitex.org/ مراجعه کنید. برای آموزش این برنامه هم به آدرس http://sub2006.blogfa.com/ مراجعه کنید.
اگه سوالی در این مورد دارید مطرح کنید.
میپل نرم افزار بسیار قدرتمندی برای انواع مختلف محاسبات ریاضی از مقدماتی تا پیشرفته است. میپل قادر است کلیه محاسبات ریاضی را از اعمال چهارگانه، توان و ریشه گرفتن، محاسبه فاکتوریل اعداد، محاسبات ساده و پیشرفته مثلثاتی و لگاریتمی و غیره گرفته تا محاسبه حد، مشتق و انتگرال توابع، رسم توابع دو بعدی و سه بعدی، انواع محاسبات ماتریسی و حل معادلات معمولی و دیفرانسیلی انجام دهد. بنابراین دانش آموزان و دانشجویان برای درک مفاهیم علمی و ریاضیدانان حرفه ای و مهندسین برای کارهای تحقیقی و کاربردی می توانند از آن استفاده کنند.
لازم به ذکر است که این نرم افزار به وسیله گروه تحقیقاتی دانشگاههای "واترلو" و "درکسل" و نیز موسسه تکنولوژی فدرال سوئیس در زوریخ در دهه ۱۹۸۰ میلادی توسعه یافت و هم اکنون نسخه ۱۰ آن تحت نام MAPLE 10 در بازار موجود می باشد.
برای اموزش این نرم افزا به ادرس زیر مراجعه کنید
http://mofidy.blogfa.com/post-7.aspx
برای مثال عبارت f(x) = x2 نشان دهنده یک تابع است، که در آن f مقدار x را دریافت میکند و x2 را میدهد. در این صورت برای ورودی 3 مقدار 9 به دست میآید. برای مثال، برای یک مقدار تعریف شده در تابع f میتوانیم بنویسیم، f(4) = 16.
معمولاً در تمارین ریاضی برای معرفی کردن یک تابع از کلمه f استفاده میکنیم و در پاراگراف بعد تعریف تابع یعنی f(x) = 2x+1 را مینویسم و سپس f(4) = 9. وقتی که نامی برای تابع نیاز نباشد اغلب از عبارت y=x2 استفاده میشود.
وقتی که یک تابع را تعریف میکنیم، میتوانیم خودمان نامی به آن بدهیم، برای مثال:
.
یکی از خواص تابع این است که برای هر مقدار باید یک جواب وجود داشته باشد، برای مثال عبارت:
یک تابع نمیباشد، زیرا ممکن است برای یک مقدار دو جواب وجود داشته باشد. جذر عدد 9 برابر 3 است و در این رابطه اعداد +3 و -3 به دست میآیند. برای ساختن یک تابع ریشه دوم، باید فقط یک جواب برای آن وجود داشته باشد، یعنی:
,
که برای هر متغیر غیرمنفی یک جواب غیرمنفی وجود دارد.
در یک تابع لزومی ندارد که حتماً بر روی عدد علمیاتی انجام گیرد. یک مثال که نشان میدهد که عملیاتی بر روی عدد انجام نمیشود، تابعی است که پایتخت یک کشور را معین میکند. مثلاً Capital(France) = Paris.
حال کمی دقیقتر میشویم اما هنوز از مثالهای خودمانی استفاده میکنیم. A و B دو مجموعه هستند. یک تابع از A به B با به هم پیوستن مقادیر منحصر به فرد درون A معین میشود و مجموعه B به دست میآید. به مجموعه A دامنه تابع میگویند؛ مجموعه B هم تمام مقادیری را که تابع میتواند داشته باشد شامل میشود.
در بیشتر زمینههای ریاضی، اصطلاحات تبدیل و نگاشت معمولاً با تابع هم معنی پنداشته میشوند. در هر حال ممکن است که در بعضی زمینههای خصوصیات دیگری داشته باشند. برای مثال در هندسه، یک نگاشت گاهی اوقات یک تابع پیوسته تعریف میشود.
تعاریف ریاضی یک تابع
یک تابع f یک رابطه دوتایی است، به طوری که برای هر x یک و فقط یک y وجود داشته باشد تا x را به y رابطه دهد. مقدار تعریف شده و منحصر به فرد y با عبارت (f(x نشان داده میشود.
به دلیل اینکه دو تعریف برای رابطه دوتایی استفاده میشود، ما هم از دوتعریف برای تابع استفاده میکنیم.
تعریف اول
ساده تعریف رابطه دوتایی عبارتست از: «یک رابطه دوتایی یک زوج مرتب میباشد». در این تعریف اگر رابطه دوتایی دلالت بر «کوچکتر از» داشته باشد آن گاه شامل زوج مرتبهایی مانند (2, 5) است، چون 2 از 5 کوچکتر است.
یک تابع مجموعهای از زوج مرتبها است به طوری که اگر (a,b) و (a,c) عضوی از این مجموعه باشند آن گاه b با c برابر باشد. در این صورن تابع مجذور شامل زوج (3, 9) است. رابطه جذر یک تابع نمیباشد زیرا این رابطه شامل زوجهای (9, 3) و (9, -3) است و در این صورت 3 با -3 برابر نیست.
دامنه تابع مجموعه مقادیر x یعنی مختصهای اول زوجهای رابطه مورد نظر است. اگر x در دامنه تابع نباشد آن گاه (f(x هم تعریف نشدهاست.
برد تابع مجموعه مقادیر y یعنی مختصهای دوم زوجهای رابطه مورد نظر است.
تعریف دوم
بعضی از نویسندگان نیاز به تعریفی دارند که فقط از زوجهای مرتب استفاده نکند بلکه از دامنه و برد در تعریف استفاده شود. این گونه نویسندگان به جای تعریف زوج مرتب از سهتایی مرتب (X,Y,G) استفاده میکنند، که در آن X و Y مجموعه هستند (که به آنها دامنه و برد رابطه میگوییم) و G هم زیرمجموعهای از حاصلضرب دکارتی X و Y است (که به آن گراف رابطه میگویند). در این صورت تابع رابطه دوتایی است که در آن مقادیر X فقط یک بار در اولین مختص مقادیر G اتفاق میافتد. در این تعریف تابع دارای برد منحصر به فرد است؛ این خاصیت در تعریف نخست وجود نداشت.
شکل تعریف تابع بستگی به مبحث مورد نظر دارد، برای مثال تعریف یک تابع پوشا بدون مشخص کردن برد آن امکانناپذیر است.
پیشینه تابع
«تابع»، به عنوان تعریفی در ریاضیات، توسط گاتفرید لایبنیز در سال 1694، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی به وجود آمد، مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتقپذیر میگوییم، اغلب افراد این توابع در هنگام آموختن ریاضی با این گونه توابع برمی خورند. در این گونه توابع افراد میتوانند در مورد حد و مشتق صحبت کنند. چنین توابعی پایه حسابان را میسازند.
واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک عبارت یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.
در طی قرن نوزدهم، ریاضیدانان شروع به فرموله کردن تمام شاخههای ریاضی کردند. ویرسترس بیشتر خواهان به وجود آمدن حسابان در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.
در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. برای ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی میکنند در حالی که امروزه هیچ ریاضیدانی این مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعریف توابع، ریاضیدانان توانستند به مطالعه «عجایب» در ریاضی بپردازند از جمله این که یک تابع پیوسته در هیچ مکان گسستنی نیست. این توابع در ابتدا بیان نظریههایی از روی کنجکاوی فرض میشد و آنها از این توابع برای خود یک «غول» ساخته بودند و این امر تا قرن بیستم ادامه داشت.
تا انتهای قرن نوزدهم ریاضیدانان سعی کردند که مباحث ریاضی را با استفاده از نظریه مجموعه فرموله کنند و آنها در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که از مجموعه استفاده کند. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعریف «رسمی» از تابع دادند.
در این تعریف، یک تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.
تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گستردهتر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه میشود.
توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدلسازی ساختمان دادهها و تاثیرات الگوریتم میبینیم. این کلمه در رویهها و زیرروالها بسیار دیده میشود.
به یک مقدار ورودی مشخص در یک تابع، آرگومان تابع میگویند. برای هر آرگومان x، مقدار منحصر به فرد y در مجموعه اعداد برد تابع وجود دارد که با آن مطابقت میکند، و به آن مقدار در x یا تصویر x تحت f میگویند. تصویر x میتواند با (f(x و یا y نشان داده شود.
گراف تابع f مجموعه تمام زوج مرتبهای ((x, f(x) به ازای تمام xهای درون دامنه X است. اگر X و Y زیرمجموعههایی از R (اعداد حقیقی) باشند، در این صورت این تعریف مانند شهود «گراف» به عنوان یک تصویر یا نمودار تابع به همراه زوج مرتبهای نقاط در محور مختصات است.
مفهوم تصویر را میتوان اتصال مجموعهای از نقاط تصویر به هم دانست. اگر A زیرمجموعهای دامنه باشد، آن گاه (f(A هم زیرمجموعهای از برد است که شامل تمام تصویرهایهای مقادیر A میشود. در این صورت میگوییم که (f(A تصویر A تحت f است.
به یاد داشته باشید که برد f همان تصویر (f(X در مقادیر دامنهاست و برد f زیرمجموعهای از مجموعه تمام مقادیر ممکن برای f است.
وارون (یا معکوس) مجموعه B که مجموعه مقایر ممکن برای Y تحت تابع f است زیرمجموعهای از دامنه X است که به این صورت تعریف میشود:
f −1(B) = {x in X | f(x) is in B}
برای مثال، وارون مجموعه {4, 9} تحت تابع مربع مجموعه {−3,−2,+2,+3} است.
به طور کلی، وارون یک نقطه منحصر به فرد (نقطهای که فقط یک مقدار برای آن وجود داشته باشد)، میتواند مجموعه تمام اعداد را دربرگیرد. برای مثال اگر f(x) = 7 باشد، آن گاه وارون {5} تهی است اما وارون {7} برابر مقادیر دامنه آن است. در این صورت وارون یک مقدار در برد زیرمجموعهای از دامنه آن است. طبق قرارداد وارون یک مقدار یعنی f −1(b) ویا همان f −1({b}) به صورت زیر است:
f −1(b) = {x in X | f(x) = b}
مهمترین توابع عبارتند از:
تابع یکبهیک، که در آن این خاصیت وجود دارد که اگر f(a) = f(b) باشد آن گاه a هم باید با b برابر باشد.
تابع پوشا، که در آن این خاصیت وجود دارد که برای هر y در برد، یک مقدار x در دامنه وجود داشته باشد یعنی f(x) = y.
توابعی که هم یکبهیک و هم پوشا هستند.
اگر از تعریف اول تابع که در بالا گفته شد استفاده شود، تا موقعی که برد تعریف نشده باشد، «یکبهیک» بودن تابع باید وضعیتی مانند پوشا بودن را داشته باشد. میتوان از ترکیب دو یا چند تابع به عنوان یک تابع استفاده کرد. برای مثال، f(x) = sin(x2) ترکیب یک تابع سینوسی و یک تابع درجه دو است. توابع f: X → Y و g: Y → Z میتوانند با هم ترکیب شوند، به طوری که ابتدا این عمل بر روی تابع f انجام شود و y = f(x) به دست آید و یک بار هم بر روی g اعمال شود و z = g(y) به دست آید. تابع مرکب g و f به صورت زیر نوشته میشود:
ابتدا تابع سمت راست عملیات را انجام میدهد و سپس تابع سمت چپ (برعکس زبان انگلیسی) و این تابع را «جیاُاِف» میخوانیم.
در تعریفی غیرعلمی، تابع وارون f تابعی است که اثر تابع f را خنثی کند، به این صورت که هر مقدار (f(x را به آرگومان x نسبت دهد. تابع مربع (درجه دو) وارون تابع غیرمنفی جذر (ریشه دوم) است، به طوری که اگر f دارای دامنه X و برد Y و گراف G باشد، آن گاه وارون آن دارای دامنه Y و برد X و گراف است.
G−1 = { (y, x) : (x, y) ∈ G }
برای مثال اگر گراف f برابر G = {(1,5), (2,4), (3,5)} باشد، آن گاه گراف f−1 برابر G−1 = {(5,1), (4,2), (5,3)} میشود.
رابطه f−1 یک تابع است اگر و تنها اگر برای هر y در برد فقط یک آرگومان x مانند f(x) = y وجود داشته باشد، به عبارت دیگر، وارون تابع f یک تابع است اگر و تنها اگر f پوشا و یکبهیک باشد. در این مثال، برای هر x درون X f−1(f(x)) = x و برای هر y درون Y f(f−1(y)) = y است. گاهی اوقات میتوان یک تابع را تغییر داد و این کار اغلب با جایگذاری دامنهای جدید که زیرمجموعهای از دامنه قبلی باشد صورت میگیرد، و همینطور باید تغییرات را در برد و گراف اعمال کرد که در این صورت تابع تغییر داده شده دارای وارونی است که خود یک تابع است.
برای مثال وارون تابع y = sin(x)، یعنی f(x) = arcsin (x)، به صورت y = arcsin (x) تعریف میشود اگر و تنها اگر x = sin(y) باشد، و این یک تابع نیست زیرا گراف آن شامل دو زوج مرتب (0, 0) و (0, 2π) است. اما اگر دامنه y = sin(x) را به −π/2 ≤ x ≤ π/2 تغییر دهیم، برای برد داریم −1 ≤ y ≤ 1 و در این صورت وارون تابع مورد نظر یک تابع است، و برای بیان آن از A در حرف اول آن استفاده میکنیم، یعنی (f(x) = Arcsin (x.
اما این روش برای همه توابع عملی نیست، زیرا در بعضی موارد پیدا کردن وارون توابع غیرممکن است.
اگر دامنه X تعریف شده باشد، تابع f را میتوان با جدولبندی کردن آرگومانهای x و جواب آنها در f(x) تعریف کرد.
چیزی که برای تعریف کردن تابع رایجتر است استفاده از فرمول و به طور کلی استفاده از الگوریتم است، که در آن نشان داده میشود چه عملیاتی باید بر روی xهای دامنه انجام گیرد تا f(x) به دست آید. برای تعریف یک تابع میتوان از عمل ریاضی که با آرگومان x رابطهای داشته باشد استفاده کرد. البته راههای زیاد دیگری برای تعریف یک تابع وجود دارد؛ از جمله استفاده از روش بازگشتی، استفاده از بسطهای تجزیه و عبارات جبری، حدها، دنبالهها، سریها و استفاده از معادلات دیفرانسیل.
در ریاضیات توابع زیادی وجود دارد که نمیتوانند مفهوم خود را به طور دقیق برسانند. یکی از نتایج اصلی نظریه شمارش این است که توابع زیادی وجود دارند که تعریف میشوند اما قابل محاسبه نیستند.
برای نشان دادن یک تابع ابتدا نام آن را میآوریم، سپس دامنه، بعد برد و در انتها هم ضابطه تابع را مینویسیم. با استفاده از این روش اغلب تابع به دو قسمت نشان داده میشود، مانند:
در اینجا دامنه تابع با نام «f» اعداد طبیعی و برد آن اعداد حقیقی است، و n را به خودش تقسیم بر π تبدیل میکند. (در بعضی موارد نام تابع را به همراه دونقطه، در بالای پیکان میآورند). روش نشان دادن دیگری هم وجود دارد که رایجتر اما غیرعلمیتر است، در این روش تابع به شکل کوتاه شده زیر نشان داده میشود:
در این روش اطلاعات کمتری ارائه شدهاست و ما از دامنه و برد تابع خبر نداریم، و در این صورت به جای n میتوانیم هر عددی از قبیل اعداد گنگ هم قرار دهیم.
بعضی از نویسندگان به جای استفاده از (f(A از [f[A استفاده میکنند و این کار برای رفع ابهام میان دریافت مفاهیم است، بعضی دیگر هم از f`x به جای (f(x، و f``A به جای [f[A استفاده میکنند.
توابع دو (یا چند) متغیره
مفهوم تابع را میتوان با ترکیب دو یا چند آرگومان بیان کرد. این مفهوم شهودی، زمانی میتواند تعریف شود که دامنه تابع حاصلضرب دکارتی دو یا چند مجموعه باشد.
برای مثال، عملیات را بر روی تابع ضربی که از دو عدد صحیح برای به دست آوردن حاصل استفاده میکند انجام میدهیم: f(x, y) = x·y. تابع میتواند دامنه Z×Z، مجموعه تمام زوجها به عنوان برد Z، و برای گراف، مجموعه تمام زوجهای ((x,y), x·y) را داشته باشد. به یاد داشته باشید که مولفه اول چنین زوجهایی یک زوج از اعداد صحیح است، در حالی که مولفه دوم تنها یک عدد صحیح است.
مقدار تابع زوج (x,y) برابر است با f((x,y)). اگر چه معمولاً یک جفت از پرانتزها را حذف میکنند و آن را به شکل f(x,y) نشان میدهند، یعنی یک تابع دومتغیره شامل x و y.
توابعی که حاصلشان یک مجموعه ضرب است
در این گونه توابع، مقدار تابع شامل چند متغیر است. برای مثال، تابع mirror(x, y) = (y, x) را با دامنه R×R و برد R×R در نظر بگیرید. زوج (y, x) یکی از مقادیر برد تابع که یک مجموعهاست، میباشد.
عملیات دوتایی
منظور ار عملیات دوتایی ساده در ریاضی همان جمع و ضرب است، وقتی که در توابع استفاده شوند مقادیر را از Z×Z به Z میبرند. این موضوع در جبر شرح داده میشود و در آنجا از توابع nتایی برای انجام عملیات استفاده میشود.
چیزی که از گذشته مورد استفاده قرار میگرفته این است که از عملیات جمع و ضرب به عنوان نشانههای میانوندی استفاده شود: x+y و x×y به جای +(x, y) و ×(x, y).
مجموعه توابع
مجموعه یک تابع از یک مجموعه X به یک مجموعه Y به صورت X → Y یا [X → Y] یا YX نشان داده میشود. آخرین عبارت یاد شده با استفاده از قضیه بدیهی |YX| = |Y||X| اثبات میشود. جزئیات بیشتر در اعداد اصلی بیان شدهاست.
معمولاً از عبارت f: X → Y برای بیان f ∈ [X → Y] استفاده میشود، و «f تابعی از X به Y است» خوانده میشود. بعضی افراد هم آن را «f: X → Y» مینویسند.
آیا یک تابع بیشتر از گرافش است؟
بعضی از ریاضیدانان از یک رابطه دوتایی (از اینجا به بعد آن را تابع میگوییم) به عنوان سهتایی مرتب (X, Y, G) استفاده میکنند، که در آن X و Y مجموعه دامنه و برد، و G گراف f است. اگر چه، سایر ریاضیدانان رابطهای را تعریف میکنند که فقط شامل زوجهای مجموعه G باشد، بدون این که دامنهای برای آن تعیین کرده باشند.
در هر تعریف خوبیها و بدیهایی وجود دارد، اما هر یک از آنها تعاریف مناسبی هستند که مورد استفاده در ریاضی قرار میگیرند. دامنه و برد موضوع مهمی است و باید به طور واضح مشخص باشند.
توابع ناقص و توابع چندتایی
وضعیت یک رابطه دوتایی f از X به Y را میتوان به دو صورت تقسیم نمود:
f تابع جمعی: برای هر x در X، چند y در Y وجود دارد به طوری که x با y در رابطه باشد.
f تابع تک-مقداری باشد: برای هر x در X، حداقل یک y در Y وجود دارد به طوری که x با y در رابطه باشد.
در بعضی موارد که تابع وضعیت اول را دارد اما لزوماً از وضعیت دوم پیروی نمیکند، میتوان تابع را تابع چندارزشی خواند؛ و رابطهای که وضعیت دوم را دارد اما لزوماً از وضعیت اول پیروی نمیکند را میتوان تابع ناقص خواند.
سایر توابع
توابع مختلفی وجود دارند که دارای خواصی هستند که در مباحث گوناگون ریاضی دارای اهمیت خاصی هستند. فهرستی از این توابع عبارتند از:
پیوسته، مشتقپذیر، انتگرالپذیر
خطی، چندجملهای، گویا
همگرا، یکنواخت، تکنما
مثلثاتی
جبری
غیرجبری
منحنی
زوج، فرد
وکتور
بسطها و محدودیتها
در یک تعریف خودمانی، منظور از محدودیت یک تابع f، تغییر دامنهاش است.
اگر بخواهیم کمی دقیقتر نگاه کنیم، اگر f تابعی از X به Y باشد و S زیرمجموعهای X، محدودیت f به S تابع f|S از S به Y میباشد و در این صورت مینویسیم برای هر s در S داریم f|S(s) = f(s).
اگر g محدودیتی از f باشد، در این صورت مینویسیم f بسطی از g است.
انجام عملیات در یک نقطه
اگر f: X → R و g: X → R توابعی با دامنه X و برد R باشد، آن گاه میتوان جمع دو تابع را به این صورت تعریف کرد: f + g: X → R و توابع ضرب را هم به صورت f × g: X → R و در نتیجه:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) (f × g)(x) = f(x) × g(x)
برای هر x در X.
توابع شمارا و غیرشمارا
تعداد کمی توابع شمارا از اعداد صحیح به اعداد صحیح وجود دارد، اما تعداد توابع از اعداد صحیح به اعداد صحیح به اندازه تعداد اعداد حقیقی است. این نشان میدهد که توابع از اعداد صحیح به اعداد صحیح وجود دارد که خاصیت شمارا ندارند.
۱- مکان ۲- سرعت ۳- شتاب ۴- نيرو ۵- ميدان های الکتريکی و مغناطيسی
يکی از بهترين راهای تشخيص برداری بودن يا نبودن يک کميت اينست که بررسی کنيم آيا جمع آن کميت خاصيت برداری دارد يا خير. مثلاً جريان الکتريکی با وجود آنکه علاوه بر اندازه جهت نيز دارد ولی برداری نيست زيرا جمع جريان ها به صورت اسکالر صورت میگيرد (قانون جريان کيرشهف).
در حالت بسيار کلی هر مجموعه عدد که به صورت يک ماتريس ستونی n*۱ قابل نوشتن باشد بردار گفته میشود. کاربرد اين مفهوم در توصيف حالت سيستم ها به مراتب بيشتر از محاسبات پديدههای فيزيکی است.
تاریخچه
مشتق از مسائل مهم ریاضی است که موضّع آن نیوتن و لایپ نیتز بودند و حد مقدمه آن است. نیوتن سرعت لحظهای را به کمک قوانین حدگیری و لایپ نیتز شیب خط مماس بر منحنیها را با استفاده از قوانین حدگیری محاسبه کرد و هر یک در حالت کلی به مشتق رسید.
مشتقات مراتب بالاتر
مشتقات مراتب بالاتر یک تابع از تعریف اصلی مشتق بدست میآیند. با مشتق گیری دوباره از مشتق یک تابع به مشتق دوم آن میرسیم و ...
نحوهی نمایش
مشتقات مراتب بالاتر (مشتق مرتبه دوم، سوم و چهارم) تابع f را میتوان به دو صورت زیر نمایش داد:
f و f و f'
f(2) و f(3) و f(4)
تابع مشتقپذیر در یک نقطه
اگر مشتق تابع f در نقطهای مانند x موجود و معین باشد، گفته میشود که تابع f در نقطهی x مشتقپذیر است.
تابع مشتقپذیر
اگر تابعی در هر نقطه از دامنهاش مشتقپذیر باشد، تابع مشتقپذیر نامیده میشود.
شرایط مشتقپذیری
برای اینکه تابعی در یک نقطه مانند x مشتقپذیر باشد، باید در یک همسایگی آن تعریف شده باشد و نیز در آن نقطه پیوسته باشد. یا به عبارتی تابع در آن نقطه هموار باشد.
شاید تا به حال اسم توپولوژی را شنیده باشید . به نظر اسم قلمبه سلمبه ای دارد و شاید فکر کنید موضوع خیلی پیشرفته ای باشد که از آن در کتاب های درسی دبیرستان موضوعی تدریس نمی شود . در واقع توپولوژی از شاخه های اصلی و گسترده ریاضیات می باشد و در طول سالها پیشرفت های زیادی کرده . اما اینگونه نیست که دانش آموزان از درک آن عاجز باشند . برعکس به دلیل داشتن ماهیت هندسی در خیلی از جاهای این علم تنها به کمی شهود نیازمندیم . توپولوزی در قسمت های مختلف ریاضیات مانند جبر ، آنالیز حقیقی و مختلط ، هندسه جبری و حتی ترکیبیات کاربرد های فراوان و عظیمی پیدا کرده به طوری که مطالعه ی هر یک از این شاخه ها بدون استفاده از مفاهیم توپولوژیک دشوار تر آن است که فکرش را بکنید . مطالعه ی علم توپولوژی به طور دقیق و آکادمیک نیاز به پیش نیازها و مطالعه ی زیادی دارد ولی بخش های بسیار مهمی از توپولوژی قسمت شهودی آن است که به نظر بنده مطالعه ی آن برای شما بسیار سود مند است .حتی چند سال پیش در این زمینه در مرحله ی اول المپیاد ریاضی کشور سوالاتی آمده بود . در زمینه ی توپولوژی شهودی منابع خوبی در اختیار ماست از جمله کتاب توپولوژی شهودی نوشته ی و.و.پراسلوف که آقای ارشک حمیدی آن را ترجمه کرده اند و انتشارات فاطمی هم ناشر آن است . همچنین سلسله مقالاتی هم تحت عنوان « آرش در سیاره تویاپ » چند سال پیش در نشریه ماهنامه ریاضیات چاپ شده که اگر بتوانید آنها را پیدا کنید منبع بسیار ارزشمندی است . نویسنده ی این مقالات آقای « ایمان افتخاری » هستند که المپیادی ها حتما با اسم ایشان آشنا هستند و در ضمن ایشان مطالعات خودشان را در ریاضیات در همین زمینه ( البته خیلی پیشرفته تر ! ) ادامه داده اند . از این به بعد در زنگ تفریح ریاضیات گاهی با موضوعات توپولوزی میهمان شما خواهیم بود. این بار شما را با نوار موبیوس آشنا می کنیم .
حتما تاکنون رویه ها و صفحه های زیادی را دیده اید ، مثل صفحه معمولی ، کره ، مخروط ، استوانه ویا رویه های پر پیچ وتاب تر . ای رویه ها شباهت ها و تفاوت هایی با هم دارند . بیشتر هدف ما هم شناختن اینت شباهت ها و تفاوت ها ست . مثلا یک صفحه ( مثل ورق کاغذ ) دارای پشت و رو هست ، همچنین کره ، استوانه و بقیه ی رویه هایی که از آنها نام بردیبم دارای این خاصیت هستند . رویه ای که می خواهیم به شما معرفی کنیم دارای این خاصیت نیست . یک نوار کاغذی بردارید و مانند شکل یک دور آن را تاب دهید و سپس دو لبه ی آن را به هم بچسبانید . اکنون شما صاحب یک نوار موبیوس هستید ! این رویه ساده و به ظاهر به درد نخور دارای یک خاصیت جالب توپولوژیک است . در واقع نوار موبیوس یک رو بیشتر ندارد . برای امتحان می توانید نوار موبیوس را رنگ کنید . می بینید که بدون برداشتن قلم همه جای آن را می توان با یک رنگ ، رنگ آمیزی کرد بر خلاف صفحه معمولی . به این گونه رویه ها را « رویه های جهت ناپذیر » می نامند . دلیل این نام گذاری را در زنگ تفریح های دیگر توضیح می دهیم .
حال به عنوان یک آزمایش جالب نوار موبیوس تان را یک بار از روی خط سبز مشخص شده در شکل باقیچی بچینید . حال نوار موبیوس دیگری بسازید واین بار نوار جدید را در امتداد خط قرمز مشخص شده در شکل قیچی کنید . حاصل دو آزمایش را با هم مقایسه کنید .
سلام.
کتابی که می خواهم معرفی کنم یک مقاله PDF درباره تاریخچه تحولات مبانی هندسه و پیدایش هندسه نا اقلیدسی است. این مقاله حدود ۲۰ صفحه است که به بررسی روند تغییر و تحولات مبانی هندسه و به خصوص کتاب اقلیدس می پردازد و به عنوان یکی از مهمترین تحولات به اصل توازی اقلیدس می پردازد. در این مقاله چگونگی تولد هندسه غیر اقلیدسی بر اثر کار بر روی کتاب اقلیدس برای رفع نواقص آن شرح داده می شود. به همه آنهایی که ریاضی و به خصوص هندسه دوست دارند خواندن این مقاله را پیش نهاد میکنم. حجم این فایل 320KB است.
از همه آنهایی که لطف می کنند و نظرشان را ابراز می کنند ممنونم.
برای دنلود مقاله بر روی لینک زیر کلیک کنید. (من خودم این فایل رو آپلود کردم و لینک مشکلی نداره. اما ممکنه سرور مشکلی پیدا کنه. اگه نتونستید دنلود کنید به من ایمیل بزنید تا براتون فرستم.)
اقلیدس اصول و دوهزار سال تلاش (حجم فایل : 320KB
| یک کتاب بی نظیر |
ریاضیدانان بزرگ، هرچند که آثارشان برای درک علم و فلسفه ضروری است، از دانشمندان و فلاسفه بزرگ، کم آوازه ترند. با این وجود برخی از آنان در طول زندگی پرماجرای خود، در امور نظامی و سیاسی و سایر حرفه ها دست داشته اند و از نقطه نظر فردی همه آنان دارای شخصیت های گوناگون بوده اند.
در کتاب ریاضیدانان نامی با زندگی و آثار بیش از 38 تن از بزرگترین ریاضیدانان جهان نظیر ارشمیدس، دکارت، پاسکال، نیوتون، لاپلاس، گائوس، سوفوس لی، هرمیت، پوآنکاره و کانتور آشنا می شویم.
«« کتاب زنده و پر هیجان اریک تمپل بل _ (ریاضیدانان نامی) _ برای کتابخانه هر آموزشگاهی لازم و ضروری است. (مجله رسمی ریاضیات Mathematical Gazette) »»
|
نام کتاب : |
ریاضی دانان نامی |
|
نویسنده: |
اریک تمپل بل |
|
مترجم: |
حسن صفاری |
|
انتشارات: |
موسسه انتشارات امیرکبیر |
|
توضیحات:
|
خوندن این کتاب رو به همه شما پیشنهاد می کنم. متن کتاب بسیار روان و جذابه و داستان زندگی هر یک از ریاضیدانان همچون یک رمان پرماجراست. بعضی پندآموز، بعضی غم انگیز و بعضی حیرت آور. مخصوصا داستان زندگی فرما، گائوس، آبل و گالوا رو حتما بخونید. اگر بتونم در همین وبلاگ هر از گاهی خلاصه زندگی بعضی از ریاضیدانان رو براتون می نویسم. کتاب حدود 900 صفحه است و دارای فهرست نام ها نیز میباشد. در ضمن عکس ریاضیدانان رو هم می تونید در این کتاب ببینید. من چاپ دوم کتاب مربوط به سال 1363 رو دارم و ممکنه که الان طرح جلد اون تغییر کرده باشه. یادش بخیر سال 63 قیمتش 140 تومان بود! |
به آسانی می توان تساوی زیر را تحقیق کرد 
و با توجه به نابرابری مثلثی خواهیم داشت
اکنون به بررسی حالتی میپردازیم که این نابرابری به برابری بدل شود. در حالت نابرابری مثلثی،
تساوی، فقط و فقط هنگامی برقرار خواهد شد که
یک عدد حقیقی مثبت ( به شرط 
) باشد. پس به جستجوی شرطی می پردازیم که ضامن مثبت و حقیقی بودن عدد 
یعنی
همدایره هستند .و 
در دو طرف وتر واصل بین دو نقطه 
قرار دارند، که نتیجه آن به ترتیب الفبایی قرار گرفتن این نقاط ( ساعتسو یا پادساعتسو ) است. پس قضیه زیر را ثابت کردیم. 
قضیه1.
به ازای هر چهار نقطه
در صفحه داریم 
تساوی هنگامی و فقط هنگامی برقرار میشود که این چهار نقطه همدایره ( یا همخط ) باشند و به ترتیب الفبایی ( ساعتسو یا پاد ساعتسو ) قرار گرفته باشند.
حالت تساوی توسط ک. بطلیموس ( حدود 85 – 165 ب.م ) کشف گردید، در صورتی که حالت کلی متجاوز از هزار سال بعد توسط ل. اویلر (1707 – 1783) پیدا شد. ولی با استفاده از اعداد مختلط نتایج آن را میتوان فقط در یک سطر به دست آورد.
عبارت
را نسبت ناهمساز چهار نقطه
گویند، این نسبت نقش مهمی در بخشهای مختلف ریاضیات، به خصوص در هندسه تصویری، که مسلماً یکی از زیباترین شاخه های ریاضیات است ایفا می کند. فرع 1.
چهار نقطه همدایره ( همخط ) اند، اگر و فقط اگر
در مطالب بعد، همخطی، حالت خاص ( تباهیده ) همدایرگی در نظر گرفته میشود.
هنگامی که چهار ضلعی محاطی به مستطیل بدل شود، قضیه بطلیموس به صورت زیر در می آید:
فرع 2.
( فیثاغورس ) در مثلث قائم الزاویه
، قائمه در راس 
، داریم: 
مثال.
فرض میکنیم
پنج ضلعی منتظمی به ضلع 
محاط در دایره ای به شعاع 
وسط 
طول یک قطر آن باشد. با استفاده از قضیه بطلیموس برای چهار ضلعیهای 
خواهیم داشت: 
که درآن
طول ضلع ده ضلعی منتظم محاط در دایره ای به شعاع
است. از اینجا نتیجه میشود که 
در تساوی
صدق میکند. 
بنابراین نسبت شعاع
به طول ضلع ده ضلعی منتظم محاطی، ، نسبت زرین معروف را میدهد: 
بویژه همان طوری که قبلا دیده ایم، یک پنج ضلعی منتظم را می توان با یک ستاره و پرگار رسم کرد.
پیوند های خارجی
http://Olympiad.roshd.ir/mathematics/content/pdf/0098.pdf
را
مینامیم، در این صورت تمام اعداد منفی با معنی خواهد بود، در نتیجه معادلههای درجه دوم، همگی ریشه های با معنی ای خواهند داشت برای مثال 
و 
، یا در واقع 
، ریشه های معادله
هستند. اما این گونه اعداد، حقیقی نیستند، چراکه مجذور آنها مثبت نیست. بنابراین با اعداد جدیدی روبرو هستیم. این اعداد را اعداد مختلط ( یا موهومی ) نامیده اند. نماد
، اولین بار توسط اویلر در قرن هیچدهم معرفی شده است و برابر است با . بدین ترتیب به ازای اعداد حقیقی
، عدد 
، عددی مختلط است که به 
بخش حقیقی و به
بخش مختلط گفته میشود. اگر بنامیم،مینویسیم : 
و 
، که 
بترتیب معرف بخش حقیقی و مختلط هستند. حال اگر اعداد مختلط
را چنین تعریف کنیم: 
حاصل جمع و حاصل ضرب آن ها این گونه تعریف میشود
زیرا همان طور که گفتیم،
میباشد. بنابراین جمع و ضرب اعداد مختلط دارای خواص زیر است:
1.جابجایی:
. 2.شرکت پذیری:
. 3.توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع:
صفر مختلط برابر است با
، همچنین
را قرینه
نامیم هر گاه: 
. 
را معکوس گوییم هر گاه: 
، بدین ترتیب: 
در نتیجه حاصل تقسیم
بر 
چنین محاسبه میشود: 
و یک نوع نمایش نیز به این شکل است:
. بنابراین اگر فرض کنید
نقاطی در صفحه اند، داریم: 
که جمع و ضرب آن ها بنابر آنچه که تعریف کردیم، چنین خواهد بود:
توجه کنید که هر عدد مختلط توسط 2 جزء
قابل نمایش است پس با این اعمال روی 
دستگاهی از اعداد پدید می آید که به آن دستگاه اعداد مختلط گویند، و آن را با نمایش میدهند. صفحه ای که نقاط آن را اعداد مختلط تشکیل دهند، صفحه مختلط مینامند. این صفحه دارای دو محور افقی و عمودی است. تمام اعداد مختلطی را در نظر بگیرید ( مانند 
) که بخش مختلط آن صفر است، این اعداد به صورت 
خواهند بود و همان طور که مشاهده می شود، اعدادی حقیقی هستند. یعنی محور افقی این صفحه، محور اعداد حقیقی است. حال اگر بخش حقیقی آن را صفر کنید، اعدادی به صورت
بدست می آیند، که محور عمودی این صفحه را تشکیل می دهند و به اعداد مختلط محض معروفند. با این تعاریف داریم:
و آنچه که در مورد جمع و ضرب اعداد مختلط تعریف نمودیم بر تعریف آن در صفحه مختلط هم منطبق خواهد بود. لذا نمایش عدد مختلط
در صفحه مختلط همان نمایش زوج مرتب خواهد بود: 
httl://jungleproxy.net
هدف «رياضيات علم نظم است و موضوع آن يافتن، توصيف و درك نظمي است كه در وضعيتهاي ظاهرا پيچيده نهفته است و ابزارهاي اصولي اين علم ، مفاهيمي هستند كه ما را قادر ميسازند تا اين نظم را توصيف كنيم» . اهداف گرايشهاي مختلف اين رشته عبارتنداز:
دكتر ديبايي استاد رياضي دانشگاه تربيت معلم تهران نيز در معرفي اين علم ميگويد:
«علم رياضي، قانونمند كردن تجربيات طبيعي است كه در گياهان و بقيه مخلوقات مشاهده ميكنيم . علوم رياضيات اين تجربيات را دستهبندي و قانونمند كرده و همچنين توسعه ميدهند.»
دكتر رياضي استاد رياضي و رئيس دانشگاه صنعتي اميركبير نيز در معرفي اين علم ميگويد: «رياضيات علم مدلدهي به ساير علوم است. يعني زبان مشترك نظريات علمي ساير علوم ، علم رياضي ميباشد و امروزه اگر علمي را نتوان به زبان رياضي بيان كرد، علم نميباشد.»
رياضي كاربردي: هدف از اين شاخه تربيت كارشناسي است كه با اندوخته كافي از دانش رياضي، توانايي تحليل كمي از مسائل صنعتي، اقتصادي و برنامهريزي را كسب نموده، توان ادامه تحصيل در سطوح بالاتر را داشته باشد.
رياضي محض: هدف از اين شاخه رياضي، تربيت متخصصان جامع در علوم رياضي است كه آمادگي لازم براي ادامه تحصيل در جهت اشتغال به پژوهش و نيز انتقال علم رياضي در سطوح دانشگاهي را داشته باشند. آشنايي با تجزيه و تحليل مسائل در قالب رياضي و مدلسازي رياضي نيز از اهداف ديگر شاخه رياضي محض است.
رياضي دبيري: هدف از شاخه دبيري تربيت دبيران و كارشناسان متخصص آموزش رياضي است كه پاسخگوي نيازهاي آموزش و پرورش كشور در سطوح پيشدانشگاهي باشند.
ماهيت :
« رياضيات بر خلاف تصور بعضي از افراد يكسري فرمول و قواعد نيست كه هميشه و در همهجا بتوان از آن استفاده كرد بلكه رياضيات درست فهميدن صورت مساله و درست فكر كردن براي رسيدن به جواب است و براي به دست آوردن اين توانايي ، دانشجو بايد صبر و پشتكار لازم را داشته باشد تا بتواند حتي به مدت چندين ساعت در مورد يك مساله رياضي فكر كرده و در نهايت با ابتكار و خلاقيت آن را حل كند»
فارغالتحصيلان اين رشته ميتوانند پس از پايان تحصيلات، در ادارات دولتي براي مسووليتهايي كه به نوعي با تجزيه و تحليل مسائل سروكار دارند، در بخش خصوصي در اموري همانند طراحي سيستمها در امر بهينهسازي و بهرهوري ، در بخش صنعت براي اموري همانند مدلسازيهاي رياضي و در آموزش و پرورش و ... ، مسووليتهاي متفاوتي را به عهده گيرند.
گرايشهاي مقطع ليسانس:
«رئيس اتحاديه بينالمللي رياضيدانان جهان در يازدهمين اجلاس آكادمي جهان سوم كه اخيرا در تهران برگزار شد، عنوان كرد كه بهتر است بگوييم رياضيات و كاربردهاي آن، نه اينكه رياضيات را به محض و كاربردي تفكيك كنيم چرا كه به اعتقاد رياضيدانها هيچ مقوله رياضي نيست كه روزي كاربردي براي آن پيدا نشود.»
«رياضيات محض بيشتر به قضايا و استدلالها ، منطق موجود در آنها و چگونگي اثباتشان ميپردازد اما در رياضيات كاربردي چگونه استفاده كردن و به كارگرفتن قضايا، آموزش داده ميشود، به عبارت ديگر در اين شاخه، كاربرد رياضيات در مسائل موجود در جامعه بيان ميگردد»
«وقتي صحبت از رياضي محض ميشود نبايد تصور كرد كه تنها بايد در گوشهاي نشست و به حل مسائل رياضي پرداخت بلكه اين علم ، بخصوص در مدارج بالا، ارتباط نزديكي با طبيعت دارد به عبارت ديگر ايدههاي رياضي از ذهن وهشگران نميرويد بلكه رياضيدانها غالبا الهام خود را از طبيعت ميگيرند و به قول «ژان باپتيت فوريه» رياضيدان مشهور قرن نوزدهم فرانسه «تعمق در طبيعت، پربارترين منابع اكتشافات رياضي است.»
عموما رياضيات كاربردي به شاخهاي از رياضي گفته ميشود كه كاربرد علمي مشخصي داشته باشد براي مثال در اقتصاد، كامپيوتر،فيزيك و يا آمار و احتمال كاربرد داشته باشد و رياضي محض نيز به شاخهاي گفته ميشود كه به نظريهپردازي رياضي ميپردازد اما بايد توجه داشت كه امروزه اين دو گرايش آنچنان در هم ادغام شدهاندكه مرزي را نميتوان بين آنها مشخص كرد.
زيرا گاه يك تئوري كاملا محض وارد مرحله كاربردي شده و چون در عمل با مشكل روبرو ميشود، بار ديگر به حوزه تئوري برميگردد و در نهايت پس از رفع نقايص، دوباره وارد مرحله كاربردي ميشود. يعني يك تعامل و ارتباط دوجانبهاي بين رياضي كاربردي و محض وجود دارد و هريك از اين دو شاخه، از تجربيات شاخه ديگر به بهترين نحو استفاده ميكند و به همين دليل يك رياضيدان موفق بايد از هر دو شاخه اطلاع داشته باشد.»
معرفي مختصري از درسهاي تخصصي گرايش رياضي كاربردي
رياضيات گسسته: هدف از اين درس، آشنايي با زمينههاي مختلف رياضيات گسسته و كاربردهاي آن با تاكيد بر اثبات و ارائه الگوريتمهاي مناسب است. سرفصلهاي اين درس عبارتنداز : معادله تفاضلي و رابطه بازگشتي ، تابع مولد، اصل شمول و طرد، گراف و ماتريس، تطابق و ديگر كاربردهاي گراف، جبربول و كاربردهاي آن و آشنايي با طرحهاي بلوكي، مربع لاتين، صفحههاي تصويري ، كدگذاري و رمزنگاري.
برنامهسازي پيشرفته : در اين درس، دانشجويان به مباحثي همچون برنامهسازي صحيح ، مستند سازي برنامهها ، برنامهسازي ساخت يافته، آشنايي با زبان دوم برنامهسازي و مقايسه آن با زبان اول، اشكالزدايي و آزمايش برنامه، حصول اطمينان از صحت برنامهها ، الگوريتمهاي غير عددي شامل : پردازش رشتهها، روشهاي جستجو و مرتب كردن ، آشنايي مقدماتي با كامپايلرها و ديگر برنامههاي مترجم، اجراي طرحهاي بزرگ و ... ميپردازند.
آناليز عددي: هدف از اين درس، ارائه الگوريتمهاي عددي و بررسي خطاهاي ايجاد شده از حل عددي مسائل است. در خصوص روشهاي تكراري، بررسي همگرايي و نرخ همگرايي نيز مورد تاكيد ميباشند. در اين درس سرفصلهاي موجود عبارتند از : نمايش اعداد حقيقي، انواع مختلف خطاها، آناليز خطاها ، حل معادلات خطي، مشتق و انتگرالگيري عددي و حل معادلات ديفرانسيل عددي و ... .
ساختمان دادهها: در اين درس، دانشجويان با آرايهها ، بردارها، ماتريسها ، صفها و رديفا، ليستهاي پيوندي ، خطي، حلقوي ، روش نمايش و كاربرد ليستهاي پيوندي ، درختها و پيمايش آنها، روش نمايش و كاربرد درختها، درختهاي تصميمگيري ، گرافها و نمايش آنها، تخصيص حافظه به صورت پويا و مسائل مربوط آشنا ميشوند.
تحقيق در عمليات: در اين درس ، دانشجويان با زمينه تحقيق در عمليات، انواع مدلها و مدلهاي رياضي، برنامهريزي خطي، شبكهها و مدل حمل و نقل، ساير مدلهاي مشابه، آشنايي با برنامهريزي متغيرهاي صحيح ،برنامهريزي پويا، برنامهريزي غيرخطي و مدلهاي احتمالي آشنا ميگردند.
آينده شغلي ، بازار كار ، درآمد:
«كاربرد رياضي در علوم مختلف انكارناپذير است. براي مثال مبحث آناليز تابعي در مكانيك كوانتومي، كاربرد بسياري زيادي دارد و يا در بيشتر رشتههاي مهندسي معادله «لاپ لاسي» كه يك معادله رياضي است، مورد استفاده قرار ميگيرد. در جامعهشناسي نيز نظريه احتمال و نظريه گروهها نقش بسيار مهمي ايفا ميكند. در كل بايد گفت كه همه صنايع ،زير ساخت رياضي دارند و به همين دليل در همه مراكز صنعتي و تحقيقاتي دنيا، رياضيدانها در كنار مهندسان و دانشمندان ساير علوم حضوري فعال دارند و آنچه در نهايت ارائه ميشود، نتيجه كار تيمي آنهاست.»
دكتر رياضي از اساتيد دانشگاه در مورد فرصتهاي شغلي موجود در ايران ميگويد:
«اگر در جامعه ما مشاغل جنبه علمي داشته باشند، قطعا به تعداد قابل توجهي رياضيدان نياز خواهيم داشت چون يك رياضيدان ميتواند مشكلات را به روش علمي حل كند. البته اين به آن معنا نيست كه در حال حاضر هيچ فرصت شغلي براي يك رياضيدان وجود ندارد اما بايد حضور رياضيدانها در مراكز تحقيقاتي و صنعتي پررنگتر باشد.»
هرچقدر كه شغل يك فرد تخصصيتر شود، ميزان رياضياتي كه لازم دارد، بيشتر ميگردد.
براي مثال يك مهندس الكترونيك از آناليز تابعي و فرآيندهاي تصادفي استفاده ميكند و يا يك برنامهريز پروژههاي اقتصادي از مطالب پيشرفته آماري مانند سريهاي زماني ، به عنوان ابزار كار ياري ميگيرد. به همين دليل امروزه تربيت متخصصان علم رياضي، يعني افرادي كه قادر هستند رياضيات مورد نياز را آموزش داده و يا توليد كنند، اهميت بسيار زيادي دارد. چرا كه لازمه پيشرفت در تكنولوژي ، توجه به دانش رياضي ميباشد.
اما يكي از دانشجويان اين رشته نظر جالبي در مورد توانايي يك فارغالتحصيل رشته رياضي دارد:
«درست است كه در جامعه ما مكان مشخصي براي جذب فارغالتحصيلان رياضي وجود ندارد اما يك ليسانس رياضي به دليل نظم فكري و بينش عميقي كه در طي تحصيل به دست ميآورد، ميتواند با مطالعه و تلاش شخصي در بسياري از شغلها ، حتي شغلهايي كه در ظاهر ارتباطي با رياضي ندارد موفق گردد.»
تواناييهاي مورد نياز و قابل توصيه :
شايد مهمترين توانايي علمي يك دانشجوي رياضي ، تسلط بر درس رياضي دبيرستان باشد كه اين امر صرفا زاييده علاقه شخصي به اين درس است.
«اين رشته نيازمند دانشجوياني است كه از نظر ذهني آمادگي جذب ايدههاي جديد را داشته باشند و بتوانند الگوها و نظم را درك كرده و مسائل غيرمتعارف را حل كنند. به عبارت ديگر يك روحيه علمي ، تفكر انتقادي و توانايي تجزيه و تحليل داشته باشند.»
از آنجا كه رياضيات ورود به عرصههاي ناشناخته و كشف قوانين آن است ، علاقمندي به مباحث رياضي از همان دوران تحصيل در دبيرستان مشخص ميشود. همين علاقمندي است كه ميتواند راههاي بسيار سخت را براي دانشجوي اين رشته هموار سازد.
يك رياضيدان قبل از هرچيز بايد جرات قدمگذاري در وادي ناشناختهها را داشته باشد.
بطور كلي دقت ،تجزيه و تحليل صحيح و صبر و پشتكار سه عامل اصلي در توفيق داوطلب در اين رشته ميباشد.
وضعيت نياز كشور به اين رشته در حال حاضر:
دكتر بابليان معتقد است هر وزارتخانه يا شركتي نياز به افرادي دارد كه علاوه بر دانستن الفباي كامپيوتر، داراي توانايي تجزيه و تحليل و تصميمگيري مناسب باشند. در اين زمينه شركتها ميتوانند فارغالتحصيلان رياضي محض و يا كاربردي را جذب نمايند.
رشتههاي مختلف رياضي جايگاه وسيعي در جامعه دارند از آن جمله : تمام رشتههاي مهندسي ، رشتههاي مختلف علوم پايه (فيزيك ، شيمي ،زيستشناسي، زمين شناسي)، پزشكي، علوم كامپيوتر، اكتشافات فضايي، بازرگاني، برنامهريزيهاي دولتي، غالب رشتههاي وابسته به صنعت ، مديريت و رشتههاي مختلف كشاورزي به رشته رياضي وابستهاند و از آن به طور مستقيم استفاده ميكنند؛ همچنين بخش بزرگي از فعاليتهاي اقتصادي و توليدي كشور در طرحهاي مختلف نظير: نفت ، پتروشيمي، حمل و نقل و ... ، مستقيم و يا غيرمستقيم از رياضي استفاده ميكنند.
نكات تكميلي :
گرايشهاي مختلف مقاطع كارشناسي ارشد و دكتري
فارغالتحصيلان مقاطع كارشناسي رياضي كاربردي ميتوانند در مقاطع كارشناسي ارشد در گرايشهاي مختلف: تحقيق در عمليات ، آناليز عددي ، بهينه سازي و نظريه كنترل به تحصيل ادامه دهند. فارغالتحصيلان كارشناسي رياضي محض و دبيري ميتوانند در مقاطع كارشناسي ارشد در گرايشهاي مختلف آناليز رياضي، جبر، هندسه و معادلات ديفرانسيل ادامه تحصيل دهند. در هر يك از گرايشهاي ياد شده زير شاخههاي تخصصيتري وجود دارد كه در مقطع دكتراي تخصصي و نيز در رساله دكتري به آن پرداخته ميشود.
تواناييهاي فارغالتحصيلان مقاطع كارشناسي ارشد و دكتري
نظر به اين كه در مقاطع تحصيلات تكميلي به جنبههاي پژوهشي، تحقيقاتي و كاربردي با ديدي عميقتر پرداخته ميشود، فارغالتحصيلان اين مقاطع داراي تواناييهاي علمي و تحقيقاتي و محاسباتي زيادي هستند و در كارهاي اجرايي نقش مهم و ارزندهاي دارند. در مقطع دكتري، دانشجويان ضمن افزايش مراتب علمي خود در يك زمينه خاص، قدرت ، توان و صلاحيت خود را در جهت انجام طرحهاي تحقيقاتي در سطح ملي و منطقهاي افزايش ميدهند و قادر به توسعه مرزهاي دانش و رفع معضلات علمي و اجرايي از طريق پژوهش ميباشند. فارغالتحصيلان مقاطع تحصيلات تكميلي ميتوانند با توجه به تخصص ويژه خود، در مراكز علمي و پژوهشي، مراكز تحقيقاتي، دانشگاهها و صنايع و مراكز آموزش عالي به عنوان عضو هيات علمي يا عضو پژوهشي جذب گردند.
خوشبختانه با رويكرد صنايع و موسسات به انجام امور تحقيقاتي، هماكنون امكان جذب بسياري از فارغالتحصيلان تحصيلات تكميلي رشتههاي رياضي ، فراهم شده است
مطالعه روی زوايا و روابط موجود ميان زوايااشکال مسطح و سه بعدی مثلثات ناميده ميشود.توابع مثلثاتی از قبيل سينوس و کسينوس توابعی هستند که بوسيله روابط هندسی تعريف ميشوند اولين کسانی که از مثلثات استفاده ميکردند یونانيان بودند.در يونان قديم از مثلثات برای تعيين طول مدت روز يا طول سال (با مشخص کردن موقعيت ستارگان در آسمان)استفاده ميشد.بعدها رياضيدانان و منجمان هندی نيز پیشرفتهايی در مثلثات بدست آوردند.ولی پيشرفت اين علم مديون دانشمندان مسلمان است . مسلمانان اصلی ترين نقش را در پيشرفت اين علم ايفا کردند و سپس اين اندوخته ها را در قرون وسطی به اروپاييان منتقل کردند.اروپاييان نيز دانش فراوان مسلمانان در مثلثات استفاده کردندو اين علم را توسعه داده و به شکل امروزی در آوردند در يک صفحه دستگاه مختصات دکارتی، زاويه می تواند هر چهار ربع را طی کند، و مقدار آن می تواند به حسب درجه، گراد راديان اندازه گيری شود. ضلع متروک اين زاويه، دايره با شعاع و مرکز در مبدا، دايره موسوم به دايره واحد يا يک را در نقطه قطع می کند. زاويه در تقاطع محور ها با دايره، مقدار صفر را اختيار می کند اين زاويه، طی يک دوران کامل ضلع متحرکش حول مبدا از صفحه شروع و پس از رسيدن به مکان اوليه، دارای زاويه 360 درجه می باشد. روابط مثلثاتی که برای زوايای مختلف برقرار است. برای زوايای بزرگتر از 360 نيز، بر قرار می باشد در مهندسی الکتريک مسائلی چون رفتار بسامدی ،عناصر سوئيچينگ ،يا انتقال ضربه ها را ميتوان به کمک سری فوريه حل کرد. پيش بينی جزرومد در دريانوردی دارای اهميت فراوانی است.از آنجا که اينها پديده هايی تناوبی هستند از سری فوريه استفاده ميشود و در تمام بندرهای مهم،وسائل مکانيکی چون پيش بينی کننده های جزر و مد ساخته ميشود.امروزه کمتر شاخهای از فيزیک،رياضيات، يا صنعت و فن وجود دارد که در آن از سريهای فوريه استفاده نشود
علم مثلثات در نجوم کاربرد فراوانی دارد و ازآن برای اندازه گيری فواصل بين ستارگان استفاده ميشود. همچنين در طراحی سيستم های ماهواره ای از مثلثات استفاده فراوانی ميشود.در دريانوردی نيز از مثلثات برای تشخيص جهت های جغرافيايی کمک گرفته ميشود.امروزه از مثلثات در شاخه های مختلف فيزیک ماننداپتيک،اکوستيک،در آناليز بازار مالی،الکترونيک،معماری، اقيانوس شناسی،مکانيک،بلور شناسی،ژئودزی،عمران و اقتصاداستفاده فراوانی ميشود. مثلثات مطالعه اندازه گيری زاويه است. اما اين سخن به معنی اندازه گيری مقدماتی زاويه در هندسه نيست که در آن مقدار زاويه مورد نظر هر يک نقاله خوانده می شود بلکه محاسبه با توابع خاصی است که بستگی به زوايا دارند و به علت کابردشان در مثلثات، توابع مثلثاتی ناميده می شوند
توسعه نظريه سريهای مثلثاتی در 1822 ،با چاپ کتابی توسط فوريه آغاز شد.تحقيقات چندين ساله وی به گسترش نظريه وسيعی در مورد سريها منجر شدکه امروزه به نام خود وی معروف ،و از اهميت بسياری در رياضيات ،علوم و فن برخوردار است.ايده اساسی اين نظريه،معرفی توابع تناوبی يا دوره ای توسط توابع تناوبی(مثلثاتی) خاص است. سری فوريه برای بررسی حرکات تناوبی در آکوستيک یا صوت شناسی،الکتروديناميک ،اپتيک يا نور شناسی، ترموديناميک و غيره مورد استفاده قرار گرفته است. سري مثلثاتي به صورت زير است
تاريخچه ي هندسه
هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصيات آنهاست. همچنين مطالعه ارتباط ميان اشکال ، زوايا و فواصـل است. واژه انگليسی جئومتری ( هندسه ) از زبان يونانی ريشه گرفته است. اين کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمين و «متری» به معنای اندازه گيری تشکيل شده است.بنابراين هندسه اندازه گيری زمين است. مصريان اوليه نخستين کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نيل طغيان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسيل فرا می گرفت. اين عمل تمام علايم مرزی ميان تقسيمات مختلف را از بين می برد و لازم می شد دوباره هر کس زمين خود را اندازه گيری و مرزبندی نمايد. آنها روشی از علامت گذاری زمينها با کمک پايه ها و طنابها اختراع کردند. آنها پايه ای را در نقطه ای مناسب در زمين فرو می کردند، پايه ديگری در جايی ديگر نصب می شد و دو پايه توسط طنابی که مرز را مشخص می ساخت به يکديگر متصل می شدند.با دو پايه ديگر زمين محصور شده ، محلی برای کشت يا ساختمان سازی می گشت. با برآمدن يونانيان اطلاعات رياضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت. در آغاز تمام اصول هندسی ابتدايی بود. اما در سال 600 قبل از ميلاد مسيح ، يک آموزگار يونانی به نام طالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد. در هندسه ، يک واقعيت را فرضيه می نامند.طالس دلايل ثبوت برخی از فرضيه ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشريحی بود. اما دانشمندی به نام اقليدس که در اسکندريه زندگی می کرد ، هندسه را به صورت يک علم بيان نمود. وی حدود سال 300 قبل از ميلاد مسيح ، تمام نتايج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در يک مجموعة 13 جلدی قرار داد. اين کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنيا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند. براساس اين قوانين ، هندسه اقليدسی تکامل يافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های ديگری از هندسه توسط رياضيدانان مختلف ، توسعه می يافت
تقسيم بندي هندسه هنـدسه مقـدماتی به دو قسمــت تقسيـم می گردد: هندسه ي مسطح و هندسه ي فضايي 
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف اين علم را نظير هندسة تحليلی و مثلثات، هندسه غير اقليدسی و هندسه فضايی مطالعه می کنيم. خدمت بزرگ يونانيان در پيشرفت رياضيات اين بود که آنان احکام رياضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقليدس، فيثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نيز به پيشرفت علم رياضی خدمت بسيار کرده بودند. در قرن دوم قبل از ميلاد رياضيدانی به نام هيپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستين کسی بود که تقسيم بندی معمولی بابلی ها را برای پيرامون دايره پذيرفت.به اين معنی که دايره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقيقه و دقيقه را به 60 قسمت برابر تقسيم نمود و جدولی براساس شعاع دايره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می داد و اين قديمی ترين جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است. بعد از آن دانشمندان هندی موجب پيشرفت علم رياضی شدند. در قرن پنجم ميلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آرياب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پيشرفت علم رياضی بسيار مؤثر بودند
در هندسه مسطح ، اشکالی مورد مطالعه قرار می گيرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضايی ، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. اين بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره ها و غيره است. هندسه مسطحه قسمتی از هندسه ( کلمه يونانی به معنی اندازه گيری زمين ) است که با شکلهای دو بعدی سروکار دارد.گرچه ما در دنيايی سه بعدی زندگی ميکنيم مطالعه هندسه مسطحه ميتواند بينش ما را نسبت به بعضی از ويژگيهای اطرافمان عميق کند. مفاهيم اساسی هندسه نيز، درست همان طور که مفهوم عدد از دنيايی مرئی مجرد شده است، از فرا يندی تجريدی که قرنها به طول انجاميده به دست آمده اند. در اين مورد ،با چشم پوشی از تفاوتهای غير ذاتی، از قبيل رنگ،شکل يا ترکيب رويه اي، و عدم توجه به اختلافهای ديگر اشيای حقيقی، به صورتهای فضا ی در سه بعد: طول، عرض و ارتفاع مي رسيم. در اين صورت ميگوييم جسم فضايی سه بعد، اما رويه تنها دو بعد، خط مثلا لبه برخورد دو رويه، يک بعد و سرانجام ، نقطه، که به عنوان تقاطع دو خط در نظر گرفته ميشود بعد صفر دارد. در هندسه مسطحه صفحه را همواره به صورتی که داده شده است در نظر ميگيريم،و بررسيهای هندسی را، در حالت عمومی، در اين صفحه انجام ميدهيم،اما در حالتهای خاص بهتر است که فضای اقليدسی نيز به عنوان يک شی هندسی در نظر گرفته شود
نقطه ها و خطها مفاهيم اساسی هندسه مسطحه مقدماتی اند. به طور شهودی، خط را اغلب به صورت مسير نقطه ای تعريف می کنند که در صفحه به چنان طريقی حرکت ميکند که همواره کوتاهترين راه بين دو مکان خود را اختيار ميکند و تغيير سو نميدهد: با اين همه، حتی در رهيافتی دقيقتر نيز هيچ گونه تعريفی از خط و نقطه داده نميشود اما در رياضيات جديد رابطه های بين اين دو نوع شی هندسی توسط آكسيوم ها مشخص ميشوند. مثلث از اساسی ترين اشکال در هندسه ميباشد.يک مثلث دارای سه راس است که سه ضلع اين رئوس را به هم وصل ميکند.در هندسه اقليدسی اين اضلاع خطوطی مستقيم هستند. ولی در هندسه کروی اين اضلاع کمان هايی از دايره عظيمه مي باشند
هنـدسه مقـدماتی به دو قسمــت تقسيـم می گردد: هندسه ي مسطح و هندسه ي فضايي
در هندسه مسطح ، اشکالی مورد مطالعه قرار می گيرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضايی ، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. اين بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره ها و غيره است. هندسه مسطحه قسمتی از هندسه ( کلمه يونانی به معنی اندازه گيری زمين ) است که با شکلهای دو بعدی سروکار دارد.گرچه ما در دنيايی سه بعدی زندگی ميکنيم مطالعه هندسه مسطحه ميتواند بينش ما را نسبت به بعضی از ويژگيهای اطرافمان عميق کند. مفاهيم اساسی هندسه نيز، درست همان طور که مفهوم عدد از دنيايی مرئی مجرد شده است، از فرا يندی تجريدی که قرنها به طول انجاميده به دست آمده اند. در اين مورد ،با چشم پوشی از تفاوتهای غير ذاتی، از قبيل رنگ،شکل يا ترکيب رويه اي، و عدم توجه به اختلافهای ديگر اشيای حقيقی، به صورتهای فضا ی در سه بعد: طول، عرض و ارتفاع مي رسيم. در اين صورت ميگوييم جسم فضايی سه بعد، اما رويه تنها دو بعد، خط مثلا لبه برخورد دو رويه، يک بعد و سرانجام ، نقطه، که به عنوان تقاطع دو خط در نظر گرفته ميشود بعد صفر دارد. در هندسه مسطحه صفحه را همواره به صورتی که داده شده است در نظر ميگيريم،و بررسيهای هندسی را، در حالت عمومی، در اين صفحه انجام ميدهيم،اما در حالتهای خاص بهتر است که فضای اقليدسی نيز به عنوان يک شی هندسی در نظر گرفته شود
نقطه ها و خطها مفاهيم اساسی هندسه مسطحه مقدماتی اند. به طور شهودی، خط را اغلب به صورت مسير نقطه ای تعريف می کنند که در صفحه به چنان طريقی حرکت ميکند که همواره کوتاهترين راه بين دو مکان خود را اختيار ميکند و تغيير سو نميدهد: با اين همه، حتی در رهيافتی دقيقتر نيز هيچ گونه تعريفی از خط و نقطه داده نميشود اما در رياضيات جديد رابطه های بين اين دو نوع شی هندسی توسط آكسيوم ها مشخص ميشوند. مثلث از اساسی ترين اشکال در هندسه ميباشد.يک مثلث دارای سه راس است که سه ضلع اين رئوس را به هم وصل ميکند.در هندسه اقليدسی اين اضلاع خطوطی مستقيم هستند. ولی در هندسه کروی اين اضلاع کمان هايی از دايره عظيمه مي باشند
حساب ديفرانسيل و انتگرال
حساب ديفرانسيل و انتگرال در آغاز برای برآورده کردن نيازهای دانشمندان قرن 17 ابداع شد.البته لازم به ذکر است ريشه های اين علمرا ميتوان تا هندسه کلاسيک يونانی ميتوان رديابی کرد. حساب ديفرانسيل و انتگرال به دانشمندان امکان می داد شيب خمها را تعريف کنند، زاويه آتشباری توپ را برای حصول بيشترين برد بدست آورند، و زمانهايی که سيارات نزديکترين و دورترين فاصله را از هم دارند،پيش بينی کنند. پيش از پيشرفتهای رياضی که به کشف بزرگ آيزاک نيوتن و لايب نيتس انجاميد،يوهانس کپلر منجم با بيست سال تفکر،ثبت اطلاعات،و انجام محاسباث سه قانون حرکت سيارات را کشف کرد دوم: خط واصل بين خورشيد و ستاره در مدتهای مساوی مساحات مساوی را طی ميکنند سوم: مربع گردش هر سياره به دور خورشيد،متناسب است با مکعب فاصله متوسط آن سياره از خورشيد
اول: هر سياره در مداری بيضی شکل حرکث ميکندکه يک کانونش در خورشيد است
ولی استنتاج قوانين کپلر از قوانين حرکت نيوتن با استفاده از حساب ديفرانسيل و انتگرال کار ساده ای است
امروز حساب ديفرانسيل و انتگرال در آناليز رياضی قلمرو واقعا گسترده ای دارد و فيزيکدانان و رياضيدانان که اول بار اين موضوع را ابداع کردند مسلما شگفت زده و شادمان می شدند اگر می ديدند که اين موضوع چه انبوهی از مسائل را حل ميکند. امروزه اقتصاددانان از حساب ديفرانسيل و انتگرال برای پيش بينی گرايشهای کلی اقتصادی استفاده می کنند. اقيانوس شناسان برای فرمول بندی نظريه هايی درباره جريانهای دريايی بهره ميگيرند،و هواشناسان آن را برای توصيف جريان هوای جو به کار ميگيرند،دانشمندان علوم فضايی آن را برای طراحی موشکها به کار ميبرند.روانشناسان از آن برای درک ثوهمات بصری استفاده می کنندو... به طور خلاصه حساب ديفرانسيل و انتگرال علمی است که درتمام علوم امروزی کاربرد بسزايی دارد
اين علم عمدتا کار دانشمندان قرن هفدهم اسث. از ميان اين دانشمندان ميتوان به رنه دکات ،کاواليری،فرما و جيمز گرگوری اشاره کرد. پيشرفت حساب ديفرانسيل و انتگرال در قرن 18 با سرعت زيادی ادامه يافت، در زمره مهمترين افرادی که در اين زمينه سهم داشتند ميتوان به برادران برنولی اشاره کرد. در واقع خانواده برنولی همان نقشی را در رياضيات داشتند که خانواده باخ در موسيقی ايفا کردند. تکميل ساختار منطقی روشهای حساب ديفرانسيل و انتگرال را رياضيدانان قرن 19 از جمله لوئی کوشی و کارل وايرشتراس بر عهده گرفتند. مطلب را با سخنی از جان فون نويمان که از رياضيدانان بزرگ قرن بيستم است به پايان ميبريم : حساب ديفرانسيل و انتگرال نخستين دستاورد رياضيات نوین است و درک اهميت آن کار آسانی نيست. به عقيده من،اين حساب روشنتر از هر مبحث ديگری مرحله آغازی رياضيات نوين را توصيف می کند؛ و نظام آناليز رياضی، که توسيع منطقی آن است، هنوز بزرگترين پيشرفت فنی در تفکر دقيق به شمار می آيد
آمار
علم و عمل توسعه ي دانش انساني از طريق استفاده از روشهايي براي گردآوري و تنظيم و تحليل داده هاي تجربي بهشکل اطلاعات «عددي» است. همچنين در صورتي که معناي شاخهاي علمي مد نظر نباشد، معناي آن، دادههايي بهشکل ارقام و اعداد واقعي يا تقريبي است که با استفاده از علم آمار ميتوان با آنها رفتار کرد و عمليات ذکر شده در بالا را بر آنها انجام داد.
علم آمار
علم آمار بر نظريه ي آمار مبتني است كه شاخه اي از رياضيات كاربردي است. در نظريه ي آمار، اتفاقات تصادفي و عدم قطعيت توسط نظريه ي احتمال، مدل بندي مي شود. در اين علم، مطالعه و قضاوت معقول در باره ي موضوعهاي گوناگون، بر مبناي يک جمع انجام ميشود و قضاوت در مورد يک فرد خاص، اصلاً مطرح نيست. از آنجا که هدف آمار اين است که «بهترين» اطلاعات را از دادههاي موجود توليد کند، بعضي نويسندگان، آمار را شاخهاي از نظريه ي تصميم گيري به شمار مي آورند كه اين علم به بخشهاي آمار توصيفي و آمار استنتاجي تقسيم مي شود
عمل آماري
عمل آماري شامل برنامهريزي و جمعبندي و تفسير مشاهدات غير قطعي است بهشکلي که روشهاي آماري
مطالعات تجربي و مشاهداتي هدف كلي براي يك پروژه تحقيقي آماري، بررسي حوادث اتفاقي بوده و به ويژه نتيجه گيري روي تأثير تغييرات در ارزش شاخص ها يا متغير هاي غير وابسته روي يك پاسخ يا متغير وابسته است. دو شيوه اصلي از مطالعات آماري تصادفي وجود دارد: مطالعات تجربي و مطالعات مشاهداتي . در هر دو نوع از اين مطالعات، اثر تغييرات در يك متغير ( يا متغير هاي ) غير وابسته روي رفتار متغير هاي وابسته مشاهده مي شود. اختلاف بين اين دو شيوه درچگونگي مطالعه اي است كه عملاً هدايت مي شود. يك مطالعه تجربي در بردارنده روش هاي اندازه گيري سيستم تحت مطالعه است كه سيستم را تغيير مي دهد و سپس با استفاده از روش مشابه اندازه گيري هاي اضافي انجام مي دهد تا مشخص سازد كه آيا تغييرات انجام شده، مقادير شاخص ها را تغيير مي دهد يا خير. در مقابل يك مطالعه نظري، مداخلات تجربي را در بر نمي گيرد. در عوض داده ها جمع آوري مي شوند و روابط بين پيش بيني ها و جواب بررسي مي شوند. احتمال
در زبان محاوره، احتمال يكي از چندين لغتي است كه براي دانسته يا پيشامدهاي غير مطمئن به كار مي رود و كم و بيش با لغاتي مثل مشابه، با ريسك، خطرناك، نامطمئن، مشكوك و بسته به متن قابل معاوضه مي باشد. شانس، بخت، امتياز و شرط بندي از لغات ديگري هستند كه نشان دهنده برداشت هاي مشابهي هستند. همانگونه كه نظريه مكانيك تعاريف دقيقي از عبارات متداولي مثل كار و نيرو دارد، نظريه احتمال نيز تلاش دارد تا برداشت هاي احتمال را كميت سازي كند
نرمافزارها
آمار مدرن براي انجام بعضي از محاسبات خيلي پيچيده و بزرگ به وسيله كامپيوترها استفاده مي شود. كل شاخه هاي آمار با استفاده از محاسبات كامپيوتري انجام پذير شده اند، براي مثال شبكه هاي عصبي. انقلاب كامپيوتري با يك توجه نو به آمار «آزمايشي» و «شناختيک» رويكردهايي براي آينده آمار داشته است. يكي از مهمترين كاربرد هاي آمار و احتمال با استفاده از كامپيوتر شبيه سازي است شبيه سازي نسخه اي از بعضي وسايل حقيقي يا موقعيت هاي كاري است. شبيه سازي تلاش دارد تا بعضي جنبه هاي رفتاري يك سيستم فيزيكي يا انتزاعي را به وسيله رفتار سيستم ديگري نمايش دهد. شبيه سازي در بسياري از متون شامل مدل سازي سيستم هاي طبيعي و سيتم هاي انساني استفاده مي شود. براي به دست آوردن بينش نسبت به كاركرد اين سيستم ها در تكنولوژي و مهندسي ايمني كه هدف، آزمون بعضي سناريوهاي عملي در دنياي واقعي است از شبيه سازي استفاده مي شود. در شبيه سازي با استفاده از يك شبيه ساز يا وسيله ديگري در يك موقعيت ساختگي مي توان اثرات واقعي بعضي شرايط احتمالي را بازسازي كرد
اعداد نمايندهي واقعي مشاهدات بوده، غير واقعي يا غلط نباشند
بهنحو مفيدي تهيه و تنظيم شوند
بهنحو صحيح تحليل شوند
قابل نتيجهگيري صحيح باشند
يك نمونه از مطالعه تجربي، مطالعات هايوترن مشهور است كه تلاش كرد تا تغييرات در محيط كار را در كمپاني الكتريك غربي هايوترن بيازمايد. محققان علاقه مند بودند كه آيا افزايش نور مي تواند كارايي را در كارگران خط توليد افزايش دهد. محققان ابتدا كارايي را در كارخانه اندازه گيري كردند و سپس ميزان نور را در يك قسمت از كارخانه تغيير دادند تا مشاهده كنند كه آيا تغيير در نور مي تواند كارايي را تغيير دهد. به واسطه خطا در اقدامات تجربي، به ويژه فقدان يك گروه كنترل محققاتي در حالي كه قادرنبودند آنچه را كه طراحي كرده بودند، انجام دهند قادر شدند تا محيط را با شيوه هايوترن آماده سازند. يك نمونه از مطالعه مشاهداتي، مطالعه ايست كه رابطه بين سيگار كشيدن و سرطان ريه را بررسي مي كند. اين نوع از مطالعه به طور اختصاصي از شيوه اي استفاده مي كند تا مشاهدات مورد علاقه را جمع آوري كند و سپس تجزيه و تحليل آماري انجام دهد. در اين مورد، محققان مشاهدات افراد سيگاري و غير سيگاري را جمع آوري مي كنند و سپس به تعداد موارد سرطان ريه در هر دو گروه توجه مي كنند
آناليز رياضي
آناليز شاخه ای از رياضيات است که با اعداد حقيقی و اعداد مختلط و نيز توابع حقيقی و مختلط سر و کار دارد و به بررسی مفاهيمی از قبيل پيوستگی ،انتگرال گيری و مشق پذيری می پردازد. از نظر تاريخی آناليز در قرن هفدهم با ابداع حساب ديفرانسيل و انتگرال توسط نيوتن و لايپ نيتس پايه ريزی شد. در قرن هفدهم و هجدهم سر فصل های آناليزی از قبيل حساب تغييرات،معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئی، آناليز فوريه در زمينه های کاربردی توسعه فراوانی يافتند و از آنها به طور موفقيت آميز در زمينه های صنعتی استفاده شد. در قرن هجدهم تعريف مفهوم تابع به يک موضوع بحث بر انگيز در رياضيات تبديل شد. در قرن نوزدهم کوشی با معرفی مفهوم سری های کوشی اولين کسی بود که حساب ديفرانسيل و انتگرال را بر يک پايه منطقی استوار کرد.. در اواسط قرن نوزدهم ريمان تئوری انتگرال گيری خود را که به انتگرال ريمان معروف است ارائه داد، در اواخر قرن نوزدهم وايراشتراس مفهوم حد را معرفی کرد و نتايج کار خود بر روی سريها را نيز ارائه داد در همين دوران رياضيدانان با تلاش های زياد توانستند انتگرال ريمان را اصلاح نمايند . در اوايل قرن بيستم هيلبرت برای حل معادلات انتگرال فضای هيلبرتی را تعريف و معرفی نمود.از آخرين تحولات در زمينه آناليز می توان به پايه گذاری آناليز تابعی توسط يک دانشمند لهستانی به نام باناچ نام برد آناليز به دسته هاي زير تقسيم بندي مي شود آناليز عددي آناليز عددی الگوريتم حل مسئله در رياضيات پيوسته(رياضياتی که جدا از رياضيات گسسته است)را مورد مطالعه قرار ميدهد. آناليز عددی اساسا به مسائل مربوط به متغيرهای حقيقی و متغيرهای مختلط و نيز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات ديفرانسيل و ديگر مسائلی که از فيزيک و مهندسی مشتق ميشود. تعدادی از مسائل در رياضيات پيوسته دقيقا با يک الگوريتم حل ميشوند.که به روش های مستقيم حل مسئله معروف اند.برای مثال روش حذف گائوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نيز روش سيمپلکس در برنامه ريزی خطی مورد استفاده قرار ميگيرد. ولی روش مستقيم برای حل خيلی از مسائل وجود ندارد.و ممکن است از روشهای ديگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود،چون اين روش ميتواند در يافتن جواب مسئله موثرتر باشد. تخمين خطاهای موجود در حل مسائل از مهمترين قسمت های آناليز عددی است اين خطاها در روش های تکرار شونده وجود دارد چون به هرحال جوابهای تقريبی بدست آمده با جواب دقيق مسئله، اختلاف دارد و يا وقتی که از روش های مستقيم برای حل مسئله استفاده می شود خطاهايی ناشی از گرد کردن اعداد بوجود می آيد. در آناليز عددی می توان مقدار خطا را در خور روش که برای حل مسئله به کار می رود، تخمين زد
آناليز حقيقی: به مطالعه بر روی حد ها ،مشتقات،انتگرال ها سريهای توانی می پردازد
آناليز تابعی: به معرفی نظريه هايی از قبيل فضاهای باناچ و نيز فضای هيلبرت می پردازد
آناليز هارمونيک: در اين شاخه از آناليز سری های فوريه مورد مطالعه قرار می گيرد
آناليز مختلط: به بررسی توابع مختلط و خواص اين توابع از قبيل مشتق پذيری و انتگرال گيری می پردازد
الگوريتم های موجود در آناليز عددی برای حل بسياری از مسائل موجود در علوم پايه و رشته های مهندسی مورد استفاده قرار می گيرند. برای مثال از اين الگوريتم ها در طراحی بناهايی مانند پل ها، در طراحی هواپيما ، در پيش بينی آب و هوا، تهيه نقشه های جوی از زمين، تجزيه و تحليل ساختار مولکول ها، پيدا کردن مخازن نفت، استفاده می شود، همچنين اکثر ابر رايانه ها به طور مداوم بر اساس الگوريتم های آناليز عددی برنامه ريزی می شوند. به طور کلی آناليز عددی از نتايج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پيدا کردن روش های جديد برای تجزيه و تحليل مسائل، استفاده می کند
هندسه ي نا اقليدسي و نسبت عام انيشتين
در قرن نوزدهم دو رياضيدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ريمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سيطره اقليدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقليدس يگانه نظامى است كه امكان پذير است. اين نظام بى چون و چرا توصيفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقليدسى مدلى براى ساختار نظريه هاى علمى بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروى مى كردند. هندسه اقليدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضاياى هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقليدس مى گويد: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.» هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ريمانى» اين اصل موضوعه پنجم را مورد ترديد قرار دادند. در هندسه «ريمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بيش از يك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت اين دو هندسه منحنى وار هستند. بدين معنا كه كوتاه ترين فاصله بين دو نقطه يك منحنى است. 
هندسه اقليدسى فضايى را مفروض مى گيرد كه هيچ گونه خميدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ريمانى اين خميدگى را مفروض مى گيرند. (مانند سطح يك كره) همچنين در هندسه هاى نااقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با 180 درجه نيست. (در هندسه اقليدسى جمع زواياى مثلث برابر 180 درجه است.) ظهور اين هندسه هاى عجيب و غريب براى رياضيدانان جالب توجه بود اما اهميت آنها وقتى روشن شد كه نسبيت عام اينشتين توسط بيشتر فيزيكدانان به عنوان جايگزينى براى نظريه نيوتن از مكان، زمان و گرانش پذيرفته شد. چون صورت بندى نسبيت عام اينشتين مبتنى بر هندسه «ريمانى» است. در اين نظريه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است.
نظريه نسبيت خاص اينشتين تمايز آشكارى ميان رياضيات محض و رياضيات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سيستم هاى رياضى مختلف است كه به وسيله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصيف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و يا حتى "ان" بعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هيچ ربطى با جهان مادى ندارد يعنى فقط به روابط مفاهيم رياضى با همديگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد رياضيات در واقعيت است. هندسه كاربردى به وسيله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهيم انتزاعى برحسب عناصرى تفسير مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظريه نسبيت، تفسيرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اينشتين براى تبيين حركت نور از هندسه نااقليدسى استفاده كرد. بدين منظور هندسه «ريمانى» را برگزيد.
هندسه اقليدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در يك صفحه طرح ريزى شده است اما در عالم واقع يك چنين خط هاى راستى وجود ندارد. اينشتين معتقد بود امور واقع هندسه ريمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر ميدان هاى گرانشى خميده شده و به صورت منحنى در مى آيد يعنى سير نور مستقيم نيست بلكه به صورت منحنى ها و دايره هاى عظيمى است كه سطح كرات آنها را پديد آورده اند. نور به سبب ميدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پديد مى آيد خط سيرى منحنى دارد. براساس نسبيت عام نور در راستاى كوتاه ترين خطوط بين نقاط حركت مى كند اما گاهى اين خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.
در نظريه نسبيت عام گرانش يك نيرو نيست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشيا اطلاق مى كنيم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقليدسى است و شايد نظريه نسبيت عام بهترين راهنمايى باشد كه ما با آن مى توانيم اشيا را مشاهده كنيم. اما مدافعين هندسه اقليدسى معتقد بودند كه به وسيله آزمايش نمى توان تصميم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقليدسى است يا نااقليدسى. چون مى توان نيروهايى به سيستم مبتنى بر هندسه اقليدسى اضافه كرد به طورى كه شبيه اثرات ساختار نااقليدسى باشد. نيروهايى كه اندازه گيرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغيير دهند كه پديده هايى سازگار با زمان - مكان خميده به وجود آيد. اين نظريه به «قراردادگرايى» مشهور است كه نخستين بار از طرف رياضيدان و فيزيكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظريه هايى كه بدين طريق به دست مى آوريم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلايل كافى براى رد آنها وجود دارد؟
هندسه برخالي
هندسه برخالي يا هندسه فرکتالي وسيله و مفهومي نوين است که امکان توصيف ريختهاي طبيعي را ميسر کرده است. اشکال هندسي طبيعي همچون کرات آسمان و درخت کاج را به آساني ميتوان با کره و مخروط توصيف کرد ولي بسياري ديگر از اشکال طبيعي به اندازهاي پيچيده هستند که حتي با ترکيبي از اشکال هندسه اقليدسي قابل توصيف دقيق نيستند. شکل گلکلم، ريخت کوهها، رويه يک فلز در مقياسهاي ميکروسکوپي نمونههايي از شکلهاي طبيعي هستند که توصيف آنها تنها توسط هندسه برخالي ممکن است
کشف مفاهيم فرکتالي (برخالي) ابزاري نيرومند در اختيار دانشمندان براي همسنجي پديدههاي پيچيده طبيعي قرار داد. براي نمونه با کاربرد مفاهيم برخالي ميتوان شکل رودخانههاي رشته کوههاي البرز را با شکل رودخانههاي کوههاي زاگرس مقايسه کرد و يا ميتوان تغييرات فعاليتهاي لکههاي خورشيدي در زمان را توصيف و با تغييرات دماي جو زمين همسنجيد. مسلماً مقايسه طول رودخانههاي البرز با درازاي رودخانههاي زاگرس توصيف دقيقي نخواهد بود زيرا تنها يک جنبه از هندسه پيچيده رودخانههاي نامبرده را مورد مقايسه قرار ميدهد. مقايسه همخواني بسامدهاي سازنده تغييرات تعداد لکههاي خورشيدي در زمان با تغييرات دماي جو در زمان ميتواند همبستگي اين دو پديده نامبرده را تا اندازهاي معين کند ولي نميتواند معياري يکتا که ارتباط ميان بسامدهاي سازنده اين دو پديده را معين ميکند ارائه دهد
هندسه برخالي چيست؟
هندسه برخالي يک مفهوم نوين است که براي نخستين بار از سوي بنويت مندلبروت در سال ???? معرفي گرديد. بنياد هندسه برخالي بر اين فرض استوار است که اشکال طبيعي خودهمانند هستند و از تکرار قانونمند يک بلوک آغازين ايجاد گرديدهاند. برخالها را به دو دسته رياضي و طبيعي تقسيم ميکنند. نمونه برجسته برخال رياضي، برخال کخ است. در پايان بايد گفت اين نوع خاص از هندسه به سه مفهوم مهم رياضي محتاج است
مفهوم تابع
مفهوم نمودار تابع
مفهوم اعداد مختلط
مقاله ای در مورد آموزش ریاضیات
آموزش رياضيات، تنها براي افزايش توان فكري يا تحليلي بشريت و كاربرد در زندگي يا ساير علوم مرتبط نيست. رياضيات به علت داشتن تاريخ طولاني، انبوهي از دانسته ها را پديد آورده است، كه بخش مهمي از علم و دانش بشري را تشكيل ميدهد. بنابراين اگر آموزش را به عنوان ابزار حفظ، انتقال و بالا رفتن سطح فرهنگ جامعه و مخاطبان تعريف كنيم. يكي از وظايف معلمهاي رياضي اين است كه دستاوردهاي عظيم تاريخ رياضيات را از طريق مدارس و كلاس هاي درس به نسل آينده انتقال دهند. در كلاسهاي درس رياضيات كنوني، اغلب معلمان رياضي همواره ميكوشند، تا ابتدا دانشآموزان درك درستي از مفاهيم رياضي داشته باشند، سپس تكنيك ها و روشهاي حل مسأله را ارائه ميدهند و در مرحله آخر، كاربردهايي از درس مورد نظر را براي دانشآموزان بيان ميكنند و در ارائه اين مطالب از روشهاي مختلف آموزش استفاده ميكنند. اما معلم رياضي با دانستن تاريخ رياضيات براساس فعاليت دانشآموز، ميتواند طوري تدريس كند كه دانشآموز در فرايند حل مسأله يا اثبات يك قضيه قرار گرفته و تنها به راه حل اكتفا نكند. با اين روش كاري مي كنيم كه دانشآموز، مراحل مختلف حل مسأله را خودش انجام دهد. اين كار باعث ميشود كه دانشآموز تا اندازه اي در جريان حل مسأله و تاريخچه كشف يك قضيه قرار گيرد و به جاي تكرار لفظي قضايا، علم را پيش خود بازآفريني كند، تا اين كه به نتيجه مطلوب برسد. بايد توجه داشته باشيم كه تاريخ رياضي فقط نقل روايت هاي زندگي علمي دانشمندان نيست
وقتي به تاريخ مي نگريم، ملاحظه مي كنيم كه در گذشته دور، سقراط نيز مسأله آموزش و پرورش و تئوريهاي يادگيري را مورد مطالعه قرار داده است. سقراط در روش خود، موسوم به روش «مامايي» بيان مي كند كه آموزش بايد طوري باشد كه دانشآموز (به معني اعم آن) مفاهيم را بزايد و به نظر او معلم در اين تولد، نقش «ماما» را دارد. همچنين ژان ژاك روسو اعتقاد خود را به آموزش بر محور دانشآموز بيان مي كند، همچنين وي تاكيد ميكند كه دانشآموز بايد علم را پيش خود بازآفريني كند. او ميگويد دانشآموز بايد علوم را كشف كند
ژاك آدمار در كتاب روان شناسي ابداع در رياضيات از قول هانري پوانكاره مي نويسد
من بيان خواهم كرد كه حل فلان قضيه، تحت بهمان شرايط اتفاق افتاد، اين قضيه يك نام غير مصطلح دارد كه براي بسياري كسان بيگانه است، اما اين موضوع اهميتي ندارد، آنچه براي روان شناس رياضي جالب است، نه خود قضيه بلكه اوضاع و احوالي است كه به ابداع منجر ميشود
جميز كلارك ماكسول معتقد است، خيلي مفيد خواهد بود، اگر شاگردان در هر مبحثي، نوشته هاي دست اول مربوط به آن مبحث را بخوانند، زيرا علوم هميشه در همان صورتي كه تولد يافته اند، بهتر جذب ميشوند.
بنابراين ، براي رسيدن به هدف هاي ظريفي كه توسط محققان آموزش رياضي در بالا پيشنهاد شده است، يعني «افزايش درك رياضي»، بايد تاريخ رياضيات را به عنوان يك ابزار موثر در دست معلم براي دادن بينش به دانشآموزان و برانگيختن علاقه آنها در نظر گرفت. اگر با كاوشي در تاريخ رياضيات بتوانيم دانشآموز را در اوضاع و احوالي قرار دهيم كه منجر به كشف يك قضيه يا فرايند حل يك مسأله شود در اين صورت تدريس را به طور جذابتر انجام دادهايم و دانشآموز با فكر خود «مانند يك رياضيدان» شروع به اكتشاف مي كند. در نتيجه دانشآموز با اين عمل مفاهيم را كمتر فراموش خواهد كرد و چه بسا با اين فرايند، دانشآموز بتواند مطالبي را با فكر خود بزايد، كه براي ما تازگي داشته باشد، زيرا رياضيات در حقيقت آفرينش آزادانه ذهن بدون هيچ محدوديتي به جز ماهيت خود ذهن است
آشنايي با تاريخ رياضيات، تسلط معلمان رياضي را بر مباحث درسي كاملتر مي كند و به آنها امكان مي دهد تا موضوع تدريس خود را عميق تر و با احساس قويتري درك و تدريس كنند
رياضيات فازي يک فرا مجموعه از منطق بولي است که بر مفهوم درستي نسبي، دلالت مي کند. منطق کلاسيک هر چيزي را بر اساس يک سيستم دوتائي نشان مي دهد ( درست يا غلط، 0 يا 1، سياه يا سفيد) ولي منطق فازي درستي هر چيزي را با يک عدد که مقدار آن بين صفر و يک است نشان مي دهد. مثلاً اگر رنگ سياه را عدد صفر و رنگ سفيد را عدد 1 نشان دهيم، آن گاه رنگ خاکستري عددي نزديک به صفر خواهد بود. در سال 1965، دکتر لطفيزاده نظريه سيستمهاي فازي را معرفي کرد. در فضايي که دانشمندان علوم مهندسي به دنبال روشهاي رياضي براي شکست دادن مسايل دشوارتر بودند، نظريه فازي به گونهاي ديگر از مدلسازي، اقدام کرد
منطق فازي معتقد است که ابهام در ماهيت علم است. بر خلاف ديگران که معتقدند که بايد تقريبها را دقيقتر کرد تا بهرهوري افزايش يابد، لطفيزاده معتقد است که بايد به دنبال ساختن مدلهايي بود که ابهام را به عنوان بخشي از سيستم مدل کند. در منطق ارسطويي، يک دستهبندي درست و نادرست وجود دارد. تمام گزارهها درست يا نادرست هستند. بنابراين جمله «هوا سرد است»، در مدل ارسطويي اساساً يک گزاره نميباشد، چرا که مقدار سرد بودن براي افراد مختلف متفاوت است و اين جمله اساساً هميشه درست يا هميشه نادرست نيست. در منطق فازي، جملاتي هستند که مقداري درست و مقداري نادرست هستند. براي مثال، جمله "هوا سرد است" يک گزاره منطقي فازي ميباشد که درستي آن گاهي کم و گاهي زياد است. گاهي هميشه درست و گاهي هميشه نادرست و گاهي تا حدودي درست است. منطق فازي ميتواند پايهريز بنياني براي فنآوري جديدي باشد که تا کنون هم دستآوردهاي فراواني داشته است كاربرد منطق فازي از منطق فازي براي ساخت کنترل کننده هاي لوازم خانگي از قبيل ماشين رختشويي (براي تشخيص حداکثر ظرفيت ماشين، مقدار مواد شوينده، تنظيم چرخهاي شوينده) و يخچال استفاده مي شود. کاربرد اساسي آن تشخيص حوزه متغيرهاي پيوسته است. براي مثال يک وسيله اندازه گيري دما براي جلوگيري از قفل شدن يک عايق ممکن است چندين عضو مجزا تابعي داشته باشد تا بتواند حوزه دماهايي را که نياز به کنترل دارد به طور صحيح تعريف نمايد. هر تابع، يک ارزش دمايي مشابه که حوزه آن بين 0 و 1 است را اختيار مي کند. از اين ارزشهاي داده شده براي تعيين چگونگي کنترل يک عايق استفاده مي شود
در شکل روبرو، سرد بودن، گرم بودن و داغ بودن، توابعي براي مقايسه درجه حرارت هستند و هر نقطه اي روي اين خطوط مي تواند داراي يکي از سه ارزش بالا باشد. به عنوان مثال براي يک درجه حرارت خاص که در شکل با يک خط نشان داده شده است، مي توان گفت: «مقداري سرد است»،«اندکي گرم است» يا «اصلاً داغ نيست». حال با مثال ديگري اهميت اين علم را بيشتر درک مينمائيم: يک انسان در نور کافي قادر به درک ميليونها رنگ ميباشد.ولي يک روبوت چگونه ميتواند اين تعداد رنگ را تشخيص دهد؟ حال اگر بخواهيم روباتي طراحي کنيم که قادر به تشخيص رنگها باشد از منطق فازي کمک ميگيريم و با اختصاص اعدادي به هر رنگ آن را براي روبوت طراحي شده تعريف ميکنيم
از کاربردهاي ديگر منطق فازي ميتوان به کاربرد اين علم در صنعت اتومبيل سازي(در طراحي سيستم ترمز ضد قفل و کنترل موتور براي بدست آوردن بالاترين راندمان قدرت)،در طراحي بعضي از ريزپردازنده ها و طراحي دوربينهاي ديجيتال اشاره کرد
صورت مساله: 12 سکه داریم که یکی از آنها تقلبی است(معلوم نیست سنگین تر از بقیه است یا سبکتر) میخواهیم با سه بار وزن کردن اون سکه تقلبی رو پیدا کنیم.
راه حل این مساله توسط خانم منیره پور اسدی فارغ التحصیل رشته رباتیک و هوش مصنوعی دانشگاه تهران فرستاده شده. یادمه دکتر نیلی استاد تز فوق لیسانسم، فامیلی ایشون رو با فامیلی من اشتباه میگرفت و همیشه ایشون رو خانم اسدپور! صدا میزد.
(راستی آهای مردا! یخورده بجنبین بابا! مثل اینکه زنها دارن از مردا جلو میفتن. جایزه نوبل هم که زودتر از مردا گرفتن. میگن حالا که از مردا کاری ساخته نیست بذارین ما کاری بکنیم).
و اما راه حل:
12 سکه را به 3 دسته 4 تایی تقسیم می کنیم و با انتخاب 2 دسته تا از آنها توزین اول را انجام می دهیم 2 حالت پیش می آید:
الف)2 دسته برابرند: پس دسته باقی مانده حاوی سکه تقلبی است. از بین 4 سکه این دسته 2 تا را انتخاب و توزین دوم را انجام می دهیم. اگر برابر بودند سکه تقلبی در بین 2 تای دیگر است، کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود. اگر برابرنبودند سکه تقلبی در بین همین 2 تا است، باز کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود.
ب) 2 دسته نا برابرند: یکی از 2 دسته حاوی سکه تقلبی است و مساله قدری سخت تراز حالت الف می شود . با خارج کردن 3 سکه از یک دسته و جابجایی 2 سکه از دسته دیگر به این دسته و افزودن 1 سکه معمولی به دسته دیگر توزین دوم را بین 2 دسته 3 تایی ایجاد شده انجام می دهیم .3 حالت پیش می آید:
ب-1) دو دسته برابرند
پس سکه تقلبی در بین 3 تای خارج شده است. با توجه به اینکه میدانیم از کدام دسته این 3 تا برداشته شده اند نوع نابرابری ان دسته در توزین اول سبکتر یا سنگینتر بودن سکه را معلوم می کند پس با توزین سوم سکه تقلبی بین این 3 سکه معلوم می شود. یعنی 2 تارا با هم می سنجیم اگر برابر بودند سومی تقلبی است واگرنابرابربودند همانی که نوع نابرابری را داشته باشد تقلبی است.
ب-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه تقلبی بین 2 سکه جابجا شده است که با توزین سوم معلوم میشود.
ب-3) دو دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وسکه های جابجا شده (*) سکه های معمولی هستند و سکه تقلبی بین آنهایی است که جابجا نشده اند. در کل از 8 سکه مشکوک 5 تا کنار میرود و 3 سکه مشکوک باقی میماند. از دسته ای که 2 سکه دارد یکی را خارج می کنیم و1 سکه را به دسته دیگر منتقل می کنیم و در سمت دیگر 2 سکه معمولی می گذاریم توزین سوم را بین این 4 سکه انجام می دهیم .2 حالت پیش می آید:
ب-3-1) دو دسته برابرند پس سکه تقلبی سکه خارج شده است .
ب-3-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه جابجا شده همان سکه تقلبی است.
ب-3-3) دو دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وجابجا شده سکه های معمولی هستند و سکه غیر این دو تقلبی است.
تاریخ را معمولا غربیها نوشته اند، و تا آنجا که توانسته اند آن را به نفع خود مصادره کرده اند. بنابراین نمی توان انتظار داشت نوادگان اروپائیانی
که سیاهان آفریقا را در حد یک حیوان پائین آورده و آنها را به بردگی کشانده اند، آنها را انسانهائی با سوابق کهن تاریخی و علمی معرفی نمایند.
البته این کلام مصداق کلی ندارد، و فقط اشاره به جریان حاکم در تاریخنگاری غربیها دارد.
اگر به تاریخ آفریقا نگاه کنیم،
- قدیمیترین شئ ریاضی از 35000 سال پیش از میلاد در سوازیلند کشف شده.
- قدیمیترین مثال حساب از 6000 سال پیش از میلاد در زئیر کشف شده.
- هرم عظیم گیزا که یک شاهکار مهندسی است، حوالی سال 2650 پیش از میلاد در مصر ساخته شده.
- پاپیروس مصری 4000 ساله معروف به مسکو، حاوی مطالبی از هندسه است.
لازم به اشاره است که، یونانیان نیز مبانی ریاضی را از بابلیان به ارث بردهاند.
ریاضیات مدون در حدود 2000 سال قبل از میلاد مسیح ، توسط بابلیان بوجود آمد .
در آن زمان بابلیان نتایج جبر مقدماتی را یکجا جمع کردند.
اما ریاضیات به مفهوم واقعی و امروزی آن ، در سرزمین یونان و در قرنهای 4 و 5 قبل از میلاد ایجاد شد.
به تدریج توسعه یافت، اوج رشد آن در قرن 17 با بوجود آمدن هندسه تحلیلی و حساب دیفرانسیل و انتگرال بود. اما در قرن 19 تجدید نظر کلی و پیشرفتهای فراوان در این علم بوجود آمد.
خیال نداریم راجع به خود او صحبت کنیم بلکه می خواهیم بطور مختصر بیان کنیم که او چه کرد. در میان اصول هندسه اقلیدسی اصلی وجود دارد به اینصورت : از هر نقطه خارج یک خط نمی توان بیش از یک خط موازی ( در همان صفحه ای که خط و نقطه در آن قرار دارند) به موازات آن خط رسم کرد.
در طول سالها این اصل اقلیدس مشکل بزرگی برای ریاضی دانان بود. چرا که ظاهری شبیه به قضیه داشت تا اصل. مقایسه کنید آنرا با این اصل اقلیدس که می گوید بین هر دو نقطه می توان یک خط راست کشید و یا اینکه همه زوایای قائمه با هم برابر هستند.
حقیقت آن است که بسیاری از ریاضی دانان سعی کردند که این اصل اقلیدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز این امر ممکن نشد. حتی خیام در برخی مقالات خود سعی در اثبات این اصل کرد اما او نیز همانند سایرین به نتیجه نرسید.
لباچفسکی (1792 - 1856) نیز همانند بسیاری از دانشمندان علوم ریاضی سعی در اثبات این اصل کرد و هنگامی که به نتیجه مطلوب نرسید نزد خود به این فکر فرو رفت که این چه هندسه ای است که بر پایه چنین اصل بی اعتباری استوار شده است. اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه میان هندسه و دنیای واقعی را پیدا کند.
او معتقد بود اگر نتوانیم از سایر اصول هندسه اقلیدسی این اصل را ثابت کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم. اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند. او پس از بررسی های بسیار چنین بیان کرد :
از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد
هر چند پس از این فرض بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما او توانست بر اساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچگونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.
اویلر در سال ۱۷۰۷ در شهر بال در کشور سوییس متولد شد.در سال ۱۷۲۷ در آکادمی سن پترزبورگ پذیرفته شد.در سال ۱۷۴۱ به برلین مهاجرت کرد و در آکادمی پروس بر کرسی ریاضیات نشست.در ۱۷۶۶ به سن پترزبورگ بازگشت و تا پایان عمر(۱۷۸۳) در آنجا زیست.اویلر ریاضیدان خستگی ناپذیری بود و دلیل نام در همه جای ریاضیات به چشم می خورد و تا این حد باعث پیشرفت ریاضیات شده نیز همین است.در زمان حیاتش ۴۷۳ مقاله از او چاپ شد ولی پس از مرگش بیش از ۲۵۰ یادداشت دیگر از او پیدا شد.اویلر در در شرایط سختی کار می کرد زیرا در سال ۱۷۳۵ بینایی یک چشمش را از دست داد و در سال ۱۷۶۶ نیز به کلی کور شد.اویلر درک شهودی بسیار بالایی در ریاضیات داشته و قدرت محاسبات ذهنی اش در زمان نابینایی هم نبوغ او را ثابت می کند.
البته مطمئن باشید اگر نابغه ای مثل اویلر در ریاضیات کنونی وجود داشته باشد نیز نمی تواند مثل او معروف و مشهور شود چون ریاضیات به حدی پیشرفت کرده که شما نمی توانید در سطح دبیرستانی به دنبال مسائل حل نشده بگردید (چون بیشتر کارهی اویلر در همین سطح است).البته همه می دانیم که که فضای کار جدید در ریاضیات مقدماتی نیز زیاد است ولی کلی بودن آن مطلب نیز شرط بوده و هست.کما اینکه شما نمی توانید در نیم قرن اخیر نام ریاضیدانی را بیاورید
تصور این مطلب که بتوان با یک معادله ساده بازه وسیعی از شکل های هندسی را بدست آورد همیشه هیجان انگیز بوده. یک محقق یک چننین فرمولی را ارئه داده و ادعا کرده که چون بسیاری از شکل ها در طبیعت و حتی تمدن های بشری از تغییر دایره بدست می آید بنابراین ساخت این قبیل شکل ها می تواند در مدل سازی ساختارهای طبیعی و یافتن بینشی صحیح از علت رشد عناصر طبیعت با فرمی خاص کمک می کند.
ابتدا با معادله یک مجموعه از شکل ها شروع می کنیم که فوق بیضی نامیده می شوند.
با دادن مقادیر مناسب به a،b و n می توان دایره ، بیضی، مستطیل و سایر شکل های متقارن را بدست آورد.بعنوان مثال اگر a=b وn=2 باشد ، این فرمول یک بیضی را می سازد.
از روی این فرمول می توان فرمولی مشابه در دستگاه مختصات قطبی بدست آورد . به این صورت که به جایXوY مقادیرX=rcosq و Y=rsinq را جایگذاری کنیم. با این تغییر کوچک که برای بدست آوردن تقارن دورانی پارامتر زاویه ای m را به این فرمول اضافه می کنیم.حاصل کار فرمول زیر می شود.
زمانی که n1 = n2 = n3 = 2 و m = 4 این فرمول یک بیضی را تولید می کند و دایره حالت خاصی که وقتی a = b اتفاق می افتد.
با آزمایش مقادیر مختلف به شکل هایی می رسیم که یاد آور فرم های طبیعی هستند. شکل زبر تعدادی از این فرم ها را نشان می دهد.
از چپ به راست
Nuphar luteum petiole (a=b=1, m=3, n1=4.5, n2= n3=10),
Scrophularia nodosa stem (a=b=1, m=4, n1 =12, n2=n3=15),
Equisetum stem (a=b=1, m=7, n1=10, n2=n3=6),
raspberry (a=b=1, m=5, n1=n2=n3=4),
starfish (a=b=10, m=5, n1=2, n2=n1=7)
« برای ترسیم این فرم ها می توانید از نرم افزار Maple با کد زیر استفاده کنید.
m:=5;
n2:=7;
n3:=7;
n1:=2;
a:=100;
b:=100;
plot([(abs(cos(1/4*m*t)/a)^n2+abs(sin(1/4*m*t)/b)^n3)^(-1/n1),t,t=-Pi..Pi],coords=polar,thickness=2);
که بعنوان نمونه مقادیر فرم آخر برای پارامتر های فرمول جایگذاری شده»
این فرمول به ما اجازه می دهد تا سادگی و زیبایی خیلی از شکل های طبیعی درک کنیم که تنها در مقدار دهی به پارامترهای شان با هم متفاوتند.
کاهشی بزرگ در پیچیدگی شکل های طبعی و دیدی تازه نسبت به تقارن.
با مقدار دهی به پارامترهای فرمول میتوان بازه وسیعی از شکل های متفاوت را بدست آورد.
این محقق اعتقاد دارد که با این فرمول ارتباطی شگفت آور میان شکل های طبیعی پیدا میشود و ابزاری مهم در مقایسه و مطالعه شکل های طبیعی است.
برای ما فعلا مشخص نیست که آیا این فرمول پاسخ گوی تقارن و فرم های طبیعی است یا نه ولی لا اقل راه را .برای ورود تصاویر گرافیکی جدید باز می کند.
این تصاویر با استفاده از همین فرمول زمانی که a = b = 1 وm متغیر است و n = n1 = n2 = n3 از 1 (در بالا سمت چپ) تا 8 (در پایین سمت راست) تغییر می کند.
منابع:
پیوند به متن اصلی( Ivars Peterson's MathTrek، MAA.org )
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_05_05_03.html
توضیحات بیشتر راجع به فرمول فوق بیضی
http://mathworld.wolfram.com/Superellipse.html
سایر منابع:
http://www.amjbot.org/cgi/content/90/3/333
http://www.nature.com/nsu/030331/030331-3.html
عدد a رو رسم پذیر گوییم اگر بتوان تنها با استفاده از خط کش و پرگار پاره خطی به طول a رسم کرد. و البته فرض ما بر این است که یک واحد طول داده شده باشد.
* از این به بعد هر جا کلمه رسم پذیری آمد منظور همان رسم پذیری به وسیله خط کش و پرگار است.
رسم پذیری بعضی عددها بسیار واضح است. مثلا ۱ و ۲ و ... چون اینها ضریبهایی از واحد طول هستند. اما بعضی دیگر احتیاج به بررسی دارند مثل "رادیکال ۲". آیا این عدد رسم پذیر است؟
از دوران دبیرستان به یاد داریم که : از هر نقطه خارج یک خط مفروض می توان خطی عمود بر آن رسم کرد. اگر محل تلاقی این دو خط را مبدا در نظر بگیریم به این محور محور رسم پذیر می گوییم.
در این محور:
۱. (a,0) یا (0,a) را رسم پذیر گوییم اگر a رسم پذیر باشد.
۲. (a,b) را رسم پذیر گوییم اگر a و b رسم پذیر باشند.
هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد، اعم از پاره خط، دایره و... یک شکل رسم پذیر گوییم.
++ اگر یک پاره خط در این محورها رسم کنیم، طول پاره خط عددی رسم پذیر است.
حال می توانیم به راحتی بگوییم که "رادیکال۲" رسم پذیر است. چون اگر (0.1) و (0و1) رو روی محور به هم وصل کنیم بنابر قضیه فیثاغورث پاره خطی به طول "رادیکال2" داریم.
حال سوالی که مطرح می شود این است که آیا همه اعداد رسم پذیرند؟ و اگر نه چه عددهایی رسم پذیرند و کدام ها رسم پذیر نیستند.
همه عددها رسم پذیر نیستند و تعیین رسم پذیری آنها به کارهای تخصصی می انجامد اما حالا که مفهوم عدد رسم پذیر رو فهمیدیم چند حکم کلی درباره رسم پذیری رو هم بیان می کنیم:
-
اگر a و b رسم پذیر باشند آنگاه a+b , a-b , a.b , a/b نیز رسم پذیرند.
-
اگر a رسم پذیر باشد آنگاه "رادیکال a" نیز رسم پذیر است.
-
موارد زیر معادلند (یعنی اگر یکی از آنها در مورد یک عدد درست باشد دو تای دیگر نیز درستند):
الف) x رسم پذیر است.
ب) (Cos(x رسم پذیر است.
ج) (Sin(x رسم پذیر است. -
همه اعداد گویا (Q) رسم پذیر هستند.
اکنون کار قضاوت در مورد رسم پذیری عددها خیلی ساده تر شد. تنها عددی ممکن است رسم پذیر نباشد که گنگ باشد. اما تعیین اینکه عدد گنگی رسم پذیر است یا نه دارای تکنیکهای ویژه ایست
رفاه مادی و آسایشی که بشر امروز از آن برخوردار است در پرتو دانش و فن آوری مدرن و مهندسی و سایر علوم بویژه فیزیک، شیمی، بیولوژی و رشته های مربوط به آنها بدست آمده است. در مطالعه این رشته ها و تقریبن هر رشته دیگر دانشگاهی، دانشجو بدانستن سطح معینی از ریاضییات نیازمند است. بیشترین معلومات ریاضی برای مطالعه در رشته های مهندسی، فیزیک و شیمی مورد نیاز است. سایر رشته ها مانند پزشکی، روانشناسی، جامعه شناسی، بیولوژی، کشاورزی، بازرگانی، تجارت، بانکداری و ده ها رشته دیگر اگر چه ظاهرن ارتباط زیادی با ریاضییات ندارند – و در حقیقت تا صد سال قبل هم این رشته ها تکیه زیادی بر ریاضییات نداشتند – اما در شکلهای مدرن و امروزی خود، این رشته ها دارای تئوری هایی هستند که درک آنها و کار بردشان شدیدن بستگی به آمار و تکنیک های ریاضی دارد. تهیه آمار از طریق جمع آوری اطلاعات و تجزیه و تحلیل آنها که تنها به روشهای ریاضی و یا با استفاده از کامپیوتر امکان پذیر است، امروزه یکی از راه های مهم حل مسائل علوم تجربی و مسائل موجود در جوامع بشری است. حتا رشته های مختلف علوم کامپیوتری هم بدون ریاضییات بخوبی به پیش نمیروند.
ریاضییات تنها زبانی است که پدیده های طبیعی جهان هستی را بخوبی توضیح میدهد. ریاضییات حتا پدیده های اجتماعی_ خاه اجتماعات بشری، خاه اجتماعات حیوانی_ را نیز میتوانند بخوبی تشریح کند و با ترسیم مدلی برای آنها تغییرات آتی آنها را پیش بینی کند. لوباچفسکی (1) میگوید : "هیچ شاخه ای از علم ریاضی _هر اندازه هم که انتزاعی و مجرد باشد_ وجود ندارد که یک روز کاربردی برای آن در توضیح پدیده های دنیای واقعی پیدا نشود." از کهکشان ها و حرکت سیارات عظیم به دور خورشید ها گرفته تا حرکت ابر ها، بادها، گردبادهاو از پرواز فضا پیما های غول پیکر و هوا پیماهای عظیم الجثه و حرکت قطارها، کشتی ها و اتومبیل ها گرفته تا افتادن سیبی از درخت و سقوط قطرات باران و حدوث رنگین کمان و حرکت بی امان و خستگی ناپذیر الکترون ها به دور هسته اتم ها و فعل و انفعالات شیمیایی که میلیون ها از آن هر لحظه در طبیعت رخ میدهد و هر گونه "تغییر" در هر چیز و هر زمان، همه و همه با کمک مدلها و معادلات ریاضی قابل بر رسی هستند. قسمت عمده فیزیک با زبان ریاضی قابل تشریح و فهم است. تئوری کوانتوم و تئوری نسبیت با زبان ریاضی است که کوشش دارند قوانین کائنات را تشریح کرده و توضیح دهند.
گالیله میگوید : " جهان هستی همواره در برابر دیدگان حیرت زده انسان گسترده خاهد ماند و انسان هرگز نمیتواند آنرا درک کند مگر اینکه زبانی را که این جهان با آن نوشته و توضیح داده شده است یاد بگیرد و حروف آنرا بشناسد. این زبان چیزی جز ریاضییات نیست و این حروف جز مثلث، دایره و سایر اشکال هندسی چیز دیگری نیستند. بدون این زبان انسان حتا یک کلمه از جهان هستی را نخاهد فهمید و همواره گمشده ای را ماند که در کوچه های پر پیچ و خم سرگردان است.
ریاضییات روش " منطقی فکر کردن" و "واقع بین بودن" را میاموزد. ریاضییات خالی از حدس و گمان و بدور از آن است. اثبات هر قضییه یا شکل دادن هر تئوری و استخراج هر فرمول بر اساس منطق و استدلال ریاضی است و وقتیکه یکی از این قضایا یا فرمول ها ثابت شد دیگر مرور زمان روی آن اثری نخاهد گذاشت. قضییه فیثاغورث در هندسه اقلیدسی بیش از 2500 سال عمر دارد و با بیش از 300 روش مختلف ثابت شده است. همه این روشها یک حقیقت واحد را ثابت کرده اند، حقیقتی که تا به امروز تغییر نکرده و در آینده نیز تغییر نخاهد کرد. سایر قضایای ثابت شده ریاضی نیز همین طورند و دیگر تغییر نمیکنند و گذشت زمان روی آنها اثری ندارد، در حالیکه برخی از نظریه هایی که در سایر رشته های علوم_ بویژه علوم تجربی _مطرح میشوند بمرور زمان کهنه شده و عوض میشوند. دیگران میایند و با تجربه ها و مشاهدات جدید خود نظریه ها را عوض میکنند یا آنها را بهبود می بخشند و به روز میکنند.
بسیاری از مردم فکر میکنند که فارغ التحصیل رشته ریاضی فقط کار آیی و کفایت در تدریس ریاضییات را دارد و بس در حالیکه امروزه در غرب، بسیاری از کار فرما ها منجمله دولت ها برای استخدام در بخش های مختلف سازمان ها و نهاد های خود علاقمندند متخصصینی را که استخدام میکنند، دارای پشتوانه خوبی از ریاضییات نیز باشند و بویژه قادر به تجزیه و تحلیل مسائل موجود در آن کار و مطابقت دادن آنها با مدلهای ریاضی و بالاخره حل مسئله باشند.
اینها برخی از دلائلی بودند که آموختن ریاضییات را در عصر امروز ضروری میکنند. اما آموختن ریاضییات یک دلیل دیگر هم دارد و آن اینستکه برای بسیاری از انسانها ریاضییات از جذابیت خاصی برخوردار است و آن پی بردن به شگفتی ها و اسرار و زیبایی هایی است که این دانش ذاتن در خود نهفته دارد.
تاريخچه عدد صفر
يکی از معمول ترين سئوالهائی که مطرح می شود اين است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به اين سئوال بدنبال اين نيستيم که بگوئيم شخص خاصی صفر را ابداع و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.
اولين نکته شايان ذکر در مورد عدد صفر اين است که اين عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسيار مهم تلقی می شود يکی از کاربردهای عدد صفر اين است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراين در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع اين عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومين کاربرد صفر اين است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنيم.
هيچکدام از اين کاربردها تاريخچه پيدايش واضحی ندارند. در دوره اوليه تاريخ کاربرد اعداد بيشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اينگونه مسائل هيچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر يا اعداد منفی باشد.
بابليها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هيچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولين نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گيومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمايش دهنده 2106 بود. البته بايد در نظر داشت که از علائم ديگری نيز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد وليکن هيچگاه اين علائم به عنوان آخرين رقم آورده نمی شدندبلکه هميشه بين دو عدد قرار می گيرند بطور مثال عدد "216 را با اين نحوه علامت گذاری نداريم. به اين ترتيب به اين مطلب پی می بريم که کاربرد اوليه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان يک عدد نبوده است.
البته يونانيان هم خود را از اولين کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساساً دستاوردهای يونانيان در زمينه رياضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازی نبوده است که رياضی دانان يونانی از اعداد نام ببرند زير آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.
البتهبعضى ازرياضی دانان يونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين کاربرد علامتی اشاره می کنيم که امروزه آن را به اين دليل که ستاره شناسان يونانی برای اولين بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می ناميم. تعداد معدودی از ستاره شناسان اين علامت را بکار بردند و قبل از اينکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.
هنديان کسانی بودند که پيشرفت چشمگيری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ايجاد کردند هنديان نيز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.
اکنون اولين حضور صفر را به عنوان يک عدد مورد بررسی قرار می دهيم اولين نکته ای که می توان به آن اشاره کرد اين است که صفر به هيچ وجه نشان دهنده يک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پيش اعداد به مجموعه ای از اشياء نسبت داده می شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ويژگيهای مجموعه اشياء نتيجه نمی شدند، ممکن شد. هنگاميکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگيريد با اين مشکل مواجه می شود که اين عدد چگونه در عمليات محاسباتی جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل می کند. رياضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به اين سئوالها پاسخ دهندو در اين زمينه نيز تا حدودى موفق بوده اند .
اين نکته نيز قابل ذکر است که تمدن ماياها که در آمريکای مرکزی زندگی می کردند نيز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.
بعدها نظريات رياضی دانان هندی علاوه بر غرب، به رياضی دانان اسلامی و عربی نيز انتقال يافت. فيبوناچی، مهمترين رابط بين دستگاه اعداد هندی و عربی و رياضيات اروپا می باشد
-
- «معادله xn + yn = zn برای n > 2 جواب صحیح و مثبت ندارد.»
یعنی اعداد صحیح و مثبت x و y و z را نمیتوان یافت که جوابهای معادله فوق باشند.
پیر فرما ریاضیدان فرانسوی قرن ۱۷ (میلادی) در حاشیهٔ کتابی نوشته بود که اثبات این قضیه را در ذهن دارد ولی جای کافی برای نوشتن در اختیار ندارد. این قضیه تا ۱۹۹۴ حلنشده باقی مانده بود.
اندرو وایلز استاد دانشگاه پرینستون در سال ۱۹۹۳ با استفاده از نظریهٔ اعداد پیشرفته اثباتی برای این قضیه ارائه کرد که دارای مشکلی بود ولی در سپتامبر ۱۹۹۴ اشکال این حل نوسط خود وایلز و با همکاری یکی از همکارانش به نام «تیلر» برطرف شد.
با این ترفند ، قادر خواهید بود هر دو عددی ، از 11 تا 19 را بدون استفاده از ماشین حساب، بسرعت در ذهن خود ضرب کنید. ( البته با فرض اینکه جدول ضرب رو خوب بلد باشید ) در این جا به طور مثال 16 × 19 را آزمایش می کنیم.
عملیات : عدد بزرگتر را با یکان عدد کوچکتر جمع کنید . ( یعنی 25 = 6 + 19 ) و در جلوی حاصلجمع صفری قرار دهید (250 ) . سپس یکان دو عد را در هم ضرب کنید و با عدد قبلی جمع کنید . ( یعنی 54 = 6 × 9 و 304 = 54 + 250 ) جواب ما 304 است .
اگر این عمل را چند بار تکرار کنید به راحتی و در دو سه ثانیه می تونید ضرب های دورقمی زیر 20 رو حل کنید
كاش مختصات كردارمان روي ربع اول همان طور مي ماند و به سمت ربع هاي ديگر نمي رفتيم .
كاش تابع تمامي اعمال خوبمان اكيدا صعودي باشد تا به مقصد برسيم .
كاش تابع گناهانمان نزولي باشد تا در يك جايي بالاخره پايان پذيرد .
كاش لااقل تابع گناهانمان اين قدر پيوسته نباشد و حد اشتباهاتمان به بي نهايت ميل نكند.
كاش از سخن هاي بيهوده و اعمال مكروهه كه فراوان هم هستند جذر مي گرفتيم.
كاش دنيا با تمام دلخوشي هايش در نظرمان نقطه اي تو خالي باشد و بس.
كاش انتگرال هاي بي حرمتي هايمان در محضر دوست، توبه باشد.
كاش بتوانيم اعمال نيك و بسيار اندكمان را به توان برسانيم تا به حساب آيند.
كاش آهنگ رو به افزايش حجم روز مرگي ها، به ما فرصت فكر كردن به خود را بدهد .
كاش راه راست را انتخاب كنيم ، كه اگر نكنيم يا به هدف نمي رسيم و يا ديرتر ميرسيم.
كاش لگاريتم كليه اعمالمان در مبناي رضاي خدا برود تا مقبول درگاهش واقع شود.
كاش لحظه هاي خوب مناجات را يك جا مي شد جمع كرد تا از دستشان ندهيم و فراموششان نكنيم.
كاش ...
در 1757 چند دانشمند جوان تورینویی که لاگرانژ وکنت سالوتسو و جووانی چنییای فیزیکدان در میان آنها بودند انجمنی علمی بنیاد نهادند که منشاء فرهنگستان سلطنتی علوم تورینو گردید یکی از اهداف اصلی آن انجمن انتشار جنگ بود به زبان فرانسوی و لاتینی به نام (جنگ تورینو) که لاگرانژ خدمتی بنیادی به آن کرد سه جلد اول آن تقریباٌ حاوی تمامی آثاری بود که وی هنگام اقامت در تورینو به چاپ رسانده بود. فعالیت لاگرانژ در مکانیک آسمانی غالباٌ بر محور مسابقه هایی دور می زند که از طرف انجمنهای مختلف علمی پیشنهاد شده بودند اما به این گونه مسابقه ها منحصر نبود. در تورینو غالباٌ کارش جهت گیری مستقل داشت و در 1782 به دالامبر و لاپلاس نوشت که در باره تغییرات قرنی نقطه های نهایی اوج و خروج از مرکز تمام سیارات کار می کند. این پژوهش لاگرانژ به اتنشار کتاب انجامید با عنوان نظریه تغییرات قرنی عناصر سیارات و مقاله ای با عنوان در باره تغییرات قرنی حرکات متوسط سیارات که در سال 1785 منتشر شد. لاگرانژ در برلین و در سال 1768 مقاله حل مسئله ای از حساب را برای جنگ تورینو فرستاد تا در جلد چهارم درج شود در آن نوشته لاگرانژ به نوشته قبلی خود اشاره داشت و از طریق کاربرد ظریف و استادانه الگوریتم کسرهای پیوسته ثابت کرد که معادله فرما (ریاضی دان معروف) را در صورتی می توان در تمام حالات حل کرد که اعداد درست مثبت باشند، این است نخستین راه حل شناخته شده این مسئله مشهور. آخرین بخش این نوشته در مقاله ای با عنوان روش جدید برای حل مسائل نامحدود دراعداد درست بسط یافت که در نشریه یاداشتهای برلین برای سال 1768 عرضه شد ولی تا فوریه آن سال کامل نگردید و در سال 1770 منتشر شد.
از بزرگترین شاهکارههای علمی لاگرانژ رساله مکانیک تحلیلی را می توان نام برد که در سال 1788 انتشار یافت او در آن اثر پیشنهاد کرد که بهتر است نظریه مکانیک و فنون حل کردن مسائل آن رشته به فرمولهایی کلی تحویل شوند، فرمولهایی که هر گاه پیدا شوند همه معادله های لازم برای حل هر مسئله را بوجود خواهند آورد. باری، لاگرانژ تصمیم گرفت که چاپ دومی از آن اثر منتشر کند که حاوی برخی پیشرفتها باشد او قبلاٌ در یادداشتهای انستیتو چند مقاله منتشر کرده بود که آخرین و درخشانترین خدمت وی را در راه پیشبرد مکانیک آسمانی نشان می دادند او قسمتی از آن نظریه را در جلد اول رساله تجدید نظر شده گنجانید. لاگرانژ مردی محجوب ومتواضع بود او بسیار ساده و راحت هنگامی که از یک مطلب علمی اطلاع نداشت میگفت نمی دانم.
لاگرانژ در سال 1813 در پاریس درگذشت او در زمان مرگش 77 سال داشت
راسل برتراند فیلسوف و ریاضیدان انگلیسی(1872-1970) است که از جمله افراد روشنفکر و متفکر عصر خود بود. او برای جلوگیری از آزار زنان و حق تحصیل آنها مبارزات زیادی انجام داده است. همچنین او برنده جایزه نوبل در ادبیات شده است و یک ریاضیدان برجسته بود.او معتقد بود ریاضیات از منطق قابل تفکیک نمی باشد و به این دلیل فکر مدرسه منطق را بنیان گذاشت.
او به همراه آلفرد وایتهد تلاش کرد سیستمی را در منطق ابداع کند که ریاضیات مبتنی بر آن باشد. نتیجه این تلاش کتابی به عنوان Principal Mathematics در سه جلد شد. اگر چه بعدها گیودل نشان داد که چنین تلاشهایی محکوم به فنا است و چنین سیستمهای منطقی کار آمد نخواهند بود.
نامه ای که راسل به همکار خود فریج فرستاده است بسیار مشهور است او این نامه را در بهار سال 1901 هنگامی که فریج روی اثر خود یعنی اصول ریاضیات کار می کرد فرستاد که در آن نامه پارادکسی را مطرح کرد که بعدها به نام پارادکس راسل شناخته شد و میتوان گفت از مشهور ترین پارادکس های تاریخ ریاضیات است. پارادوکس او چنین بود: آیا مجموعه همه مجموعه هایی که عضو خودشان نمی باشند عضوی از خودش است یا نه؟!
به عبارت دیگر مجموعهی R را مشتمل بر همهی مجموعههائی در نظر بگیرید که عضو خودشان نیستند.یعنی:
حال آیا R عضوی از خودش است یا خیر؟
1-اگر R عضوی از خودش باشد، پس واجد شرایط اعضای R است، یعنی عضو خودش نیست!
2-اگر R عضوی از خودش نباشد، پس واجد شرایط اعضای R نیست، یعنی عضو خودش است!!
اینجا نیز روشن نیست که در نهایت این مجموعه (یعنی R) عضو خودش هست یا خیر؟
صورتهای گوناگونی از این پارادکس وجود دارد به عنوان مثال یک شکل ساده آن به این صورت است:
«فرض کنید که در یک شهر آرایشگری وجود دارد که فقط و فقط سر کسانی را اصلاح میکند که خودشان سر خود را اصلاح نمیکنند، به علاوه هر کسی که خودش سر خود را اصلاح نمیکند، سرش را پیش این آرایشگر اصلاح میکند! حال به عقیدهی شما این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح می کند یا خیر؟ پاسخ بسیار حیرت انگیز است:
اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح نکند، پس در زمرهی افرادی که سر خودشان را خود اصلاح نمیکنند قرار دارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح میکند!
اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح کند، پس در زمرهی افرادی که سر خودشان را اصلاح نمی کنند قرار ندارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح نمی کند!
و در حقیقت روشن نیست که در نهایت این آرایشگر با سر خود چه میکند! اصلاحش می کند یا خیر؟
شاید بتوان گفت این پارادکس مشهور ترین پارادکس تاریخ ریاضیات است. این پارادکس منجر به تحولات بسیار زیادی در منطق ریاضیات و فلسفه (ریاضی و غیر آن) شد. یکی از مهمترین این تحولات تغییر نگرش ریاضیدانان نسبت به مفهموم مجموعه بود، چرا که راسل نشان داد علت مواجه با این پارادکس، تعریف ناسازگاری است، که از مفهوم مجموعه در ذهن ریاضیدانان وجود دارد
بعضی از دانش اموزانم مطالبی درباره استقرا خواستندوبه طور کلی راجع به استدلال در ریاضی شاید اگر از خیلی ها بپرسید، در ریاضی چند نوع کلی استدلال وجود دارد، به شما پاسخ دهند که دو نوع: 1- استدلال استنتاجی و2- استدلال استقرایی .ویا مثلا در اثبات خیلی از قضیه می گوییم :
"از استدلال استقرایی استفاده می کنیم و...".
بله ،درسته! در منطق دو نوع کلی استدلال داریم :1- استدلال استقرایی و 2- استدلال قیاسی (یا استنتاجی).
اما تنها نوع استدلالی که ریاضیات می پذیرد و از آن استفاده می کند، استدلال قیاسی (استنتاجی)است. ممکن است تعجب کنید و بگویید پس این همه احکامی که با استقراء ثابت می کنیم، چی میشن؟.... صبر کنید. توضیح می دم. یکی از انواع استدلال در منطق، استدلالی است که در آن از احکام جزئی و حالت های خاص، احکام کلی را استنباط می کنند. این چیزی است که "استدلال استقرایی" نامیده می شود. اما در ریاضی، ما چیزی به نام استدلال استقرایی نداریم بلکه روشی برای اثبات برخی از احکام در مورد اعداد طبیعی داریم که "استقراء ریاضی" نام دارد ... (به تفاوت "استدلال استقرایی" و استقراء ریاضی" دقت کنید. این تفاوت در نام آنها نیست بلکه در واقع تنها شباهت آنها نام آنهاست.
توجه کنید که "استقراء ریاضی" یک استدلال استقرایی نیست بلکه یکی از روش های بسیار قدرتمند و زیبای استدلال است که اتفاقا از نوع استدلال استنتاجی است. شاید دلیل نام گذاری این روش به این نام به دلیل اینست که ما ابتدا یک حکم را با امتحان کردن برای چند مورد حدس می زنیم. اما توجه داشته باشید که این، تنها قدم استقرایی است، و بقیه ماجرا که اثبات حکم با استفاده از روش "استقراء ریاضی" است از دو گام تشکیل شده که در هر دو گام از روشهای استنتاجی به کا می روند، و در آنها از هیچ نوع استدلال استقرائی استفاده نمیشود. ما در هر نظریه ریاضی احکامی داریم که بدون اثبات آن را می پذیریم و بر آنها نام "اصل موضوع" می نهیم. یکی از اصولی که در سراسر ریاضیات وجود دارد "اصل استقراء ریاضی" است که با استفاده از آن یک روش استدلالی قیاسی قدرتمند به نام "استقراء ریاضی" پدید آمده است.
اصل استقراء ریاضی: "اگر حکمی برای عدد طبیعی 1برقرار باشد و نیز بتوانیم از فرض برقراری حکم برای عدد طبیعی k، برقراری آن برای عدد طبیعی k+1 را نتیجه بگیریم، آنگاه حکم ما برای همه اعداد طبیعی(N) برقرار است".
پس یادمون باشه ، تنها نوع استدلال در ریاضی، استدلال قیاسی است که البته روشهای مختلفی مانند " استقراء ریاضی"، "برهان خلف"، "برهان مستقیم"، "برهان بازگشتی " و ... دارد
 | ||
|
(احل ین مساله یک میلیون دلار جایزه داره)
سلام اون مسله يا حدس را براتون مي نويسم(حدس گولد باخ يا goldbach )هر عدد زوج (غير از 2)را مي شود بصورت جمع دو عدد اول نوشت مثل :4=2+2 يا 6=3+3 يا 8=3+5 10=3+7 و..................... در ضمن سهم من يادتون نره ) | ||
گروه سه نفر رياضي دانان هندي براي غلبه بر مشكل به هر دري زدند و با بررسي مقالات مختلف بالاخره دريافتند كه در سال ۱۹۸۵يك رياضيدان فرانسوي به نام اتن فووري از دانشگاه پاريس ۱۱اين نكته را به صورت رياضي اثبات كرده است. به اين ترتيب آخرين بخش معما حل شد و آلگوريتم پيشنهادي اين سه نفر با موفقيت پا به عرصه گذارد.
اما اين موفقيت "مشروط" بود. به اين معني كه اين روش براي اعداد اولي كه انسان در حال حاضر ميتوان به سراغ آنها برود از كارآيي چنداني برخوردار نيست. در روايت اوليه روش پيشنهادي، زمان لازم براي محاسبات كه متناسب با ارقام عدد اول مورد نظر بود، با آهنگ ۱۰۱۲ازدياد پيدا مي كرد.
در روايتهاي بهبود يافته اخير اين روش، سرعت ازدياد زمان لازم براي محاسبات به ۱۰۷.۵كاهش يافته اما حتي در اين حالت نيز اين روش در مقايسه با روش آ پي آر تنها در هنگامي موثر تر خواهد بود كه تعداد ارقام عدد اولي كه قصد شكار و يافتن آن را داريم در حدود ۱۰۱۰۰۰باشد.
اعدادي تا اين اندازه بزرگ در حافظه هيچ كامپيوتر جاي نميگيرند و حتي آن را نميتوان در كل كيهان جاي داد.
اما حال كه رياضي دانان توانستهاند يك طبقه خاص از آلگوريتمهاي تواني را براي شناسايي اعداد اول مشخص كنند، اين امكان پديد آمده كه به دنبال نمونههاي بهتر اين روش بگردند. پومرانس و هندريك لنسترا از دانشگاه كاليفرنيا در بركلي با تلاش در همين زمينه توانستهاند زمان لازم براي محاسبات را از توان ۷.۵به توان ۶كاهش دهند.
اين دو از همان استراتژي كلي گروه هندي موسسه كانپور استفاده كردند اما تاكتيهاي ديگري را به كار گرفتند.
اگر فرضيههاي ديگري كه درباره اعداد اول مطرح شده درست از كار درآيد آنگاه ميتوان زمان محاسبه را از توان ۶به توان ۳تقليل داد كه در اين حد اين روش كارآيي عملي پيدا خواهد كرد.
در اين حالت يافتن اعداد اول با ۱۰۰۰رقم يا بيشتر به بازي كودكان بدل خواهد شد.
اما در نظر رياضيدانان مهمترين و جالبترين جنبه كار گروه سه نفره آ ك اس (كانپ.ر) روشي است كه آنان به كار گرفتهاند.
اعداد اول براي رياضيات از اهميت بنيادين برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم ويژگيهاي آنها باعث ميشود خللهاي بزرگ در بناي رياضيات پديدار شود.
روش اين سه رياضي دان هندي هرچند اين خللها و نقصها را پر نكرده حداقل به رياضي دانان گفته است كه در كجا به دنبال اين خللها بگردند.
آلگوريتم پيشنهادي اين سه محقق و همه انواع بديلي كه بر اساس آن ساخته شده متكي به وجود اعداد اولي با مشخصه هاي ويژه هستند. و در اغلب موارد استفاده از اين روش مستلزم آن است كه رياضي دانان اطلاعات دقيقي از نحوه توزيع اين قبيل اعداد اول خاص در ميان ديگر اعداد به دست آورند و به اين ترتيب جغرافياي مكاني اعداد اول را مشخص سازند.
روش پيشنهادي آ ك اس به رياضي دانان اين نكته را آموخته كه ويژگيهاي اين جغرافياي مكاني حائز اهميت است و نيز اين كه هنوز دانش كافي در اين زمينه به دست نيامده است.
در گذشته و در زماني كه نظريه اعداد تنها مورد توجه يك گروه كوچك از رياضي دانان بود ، اين مساله چندان اهميتي نداشت. اما در ۲۰سال گذشته اعداد اول موقعيتي استثنايي در عرصه رمز نگاري و دانش طراحي و شكستن رمزها كسب كرده اند.
رمزها صرفا از نظر نظامي و جاسوسي حائز اهميت نيستند بلكه از آنها در عرصه هاي تجاري و نيز فعالييتهاي اينترنتي در مقياس وسيع استفاده به عمل ميآيد. هيچ كس نميخواهد كه راهزنان اينترنتي به اطلاعات شخصي مربوط به حسابهاي بانكي يا شماره كارتهاي اعتباري آنان دست يابد.
هم اكنون دزدي مشخصات شناسنامه اي افراد و جعل هويت آنان به صورت يكي از بزرگترين قلمروهاي فعالييتهاي تبهكارانه در سطح بينالمللي در آمده است.
سازندگان كامپيوترها و ارائهدهندگان خدمات اينترنتي با توجه به آنكه در حال حاضر افراد بسياري از فعاليتهاي خود را از طريق اينترنت انجام مي دهند، نظير اينكه پول قبضهاي برق و آب و تلفن خود را ميپردازند يا در كلاسهاي مورد نظر ثبت نام ميكنند، يا بليت هواپيما و قطار رزرو ميكنند، در تلاشند تا از خطر دستيابي تبهكاران به اطلاعات شخصي افراد جلوگيري به عمل اورند.
يكي از مهمترين سيستمهايي كه در اين زمينه مورد استفاده صنايع است سيستم آر اس آ نام دارد كه متكي به اعداد اول است.
اعداد اول مورد استفاده در اين سيستم در حدود ۱۰۰رقمي هستند. سيستم آر اس آ در بسياري از سيستمهاي كامپيوتري مورد استفاده قرار دارد و در پروتكل اصلي براي ارتباطات امن اينرتنتي نيز گنجانده شده است و بسياري از دولتها، شركتهاي بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده ميكنند. جواز استفاده از اين سيستم براي بيش از ۷۰۰شركت صادر شده و بيش از نيم ميليون كپي از آن در سطح جهاني مورد استفاده قرار دارد.
براي شكستن رمز آر اس آ بايد مضراب اعداد ۲۰۰رقمي يا بزرگتر را پيدا كنيد. هرچند فاكتور گيري يا عامل مشترك گيري از اعداد سخت تر از آزمودن اول بودن آنهاست اما اين دو مساله با يكديگر ارتباط دارند و رياضي دانان از يك ابزار براي حل هر دو مساله استفاده ميكنند.
همه اين جنبهها بر اهميت كشف هر روشي براي محاسبه اعداد اول ميافزايد.
در سال ۱۹۹۵زماني كه پيتر شور از آزمايشگاههاي بل اثبات كرد كه مجموعه- اي از آلگوريتمهاي تواني براي فاكتور گيري وجود دارد، لرزه بر اندام بسياري افتاد.
اما خوشبختانه براي استفاده از اين آلگوريتم به كامپيوترهاي كوانتومي نياز است كه هنوز در مرحله تكميل تئوريك قرار دارند.
اكنون روش تازه آگراوال و دوستانش دوباره سيستم آر اس آ را در معرض خطر قرار داده است. آگراوال اكنون اين نكته را نشان داده كه ميتوان با كامپيوتر هاي معمولي، اعداد را از حيث اول بودن مورد آزمايش قرار داد.
سوالي كه اينك مطرح شده آن است كه آيا الگوريتم مشابهي كه به صورت تواني كار كند براي فاكتورگيري اعداد غيراول نيز موجود است؟ پاسخ اغلب متخصصان به اين پرسش منفي است اما متاسفانه اين متخصصان همين حرف را در مورد آلگوريتم تواني مربوط به اعداد اول نيز ميزدند
در حال حاضر رياضي دانان واقعا مطمئن نيستند كه كه آيا چنين آلگوريتمي يافت ميشود يا نه.
اگر پاسخ مثبت باشد انگاه سيستم آر اس آ ديگر از امنيت برخوردار نيست.
يك عامل تخفيفدهنده نگرانيها آن است كه از سيستم آر اس آ براي انتقال همه محتواي پيامها استفاده نميشود بلكه صرفا "كليد هاي رمز" را كه اندازه شان كوچك است با اين سيستم انتقال ميدهند.
براي انتقال بقيه پيام از روشهاي رمزنگاري متعارف بهره گرفته ميشود. به اين ترتيب جاسوسان در صدد برخواهند آمد كه به كليد رمزها دست يابند.
به اين ترتيب درسي كه از موفقيت گروه سه نفره هندي گرفته ميشود آن است كه بايد با احتياط در ارسال پيامها عمل كرد. اگر اكتشافات مشابه آنچه گروه كانپور بدست اورده تكرار شود، انگاه ديگر نميتوان به ايمن بودن ارتباطاتي كه روي اينترنت برقرار ميشود اطمينان داشت.
http://www.irna.ir/fa/news/view/menu-279/8405191730172702.htm
 |
| |
|
در سال ۱۹۸۳روشي كشف شد كه بسيار نزديك به روشهاي تواني بود. اين روش كه به وسيله سه رياضي دان به نامهاي لئونارد آدلمن از دانشگاه كاليفرنياي جنوبي، كارل پومرانس از آزمايشگاهاي بل در موري هيل نيو جرسي، و رابرت روملي از دانشگاه جورجيا كشف شد به نام خود آنان به روش آپي آر APRشهرت يافت. در اين روش زمان محاسبه يك عدد داراي dرقم براي است با .(d)ln ln d سوالي كه براي رياضي دانان مطرح است آن است كه آيا ميتوان به روشي دست يافت كه به معناي دقيق و فني كلمه روشي تواني باشد. هيچ كس تصور نميكرد كه احتمال چنين موفقيتي وجود داشته باشد تا اينكه گروه آگراوال بمب خود را منفجر كرد. ايده انقلابي اين سه تن در سال ۲۰۰۲و زماني كه كايال و سكسنا هنوز دانشجوي دوره ليسانس بودند مطرح شد. در ابتداي سال جاري يك روايت بهبود يافته از روش پيشنهادي اين سه كه به آلگوريتم آ.ك.اس شهرت يافته در نشريه "آنالز او متمتيكس "Annals of Mathematicsانتشار يافت. اين آلگوريتم از نوع روشهاي تواني است و علاوه برآن بسيار ساده است (لااقل براي رياضي دانان چنين است). اين روش از اعقاب يك روش آزمون قديمي موسوم به قضيه كوچك پيير فرما است. اين قضيه را نبايد با قضيه اصلي فرما كه چند سال قبل پس از ۳۰۰سال اثبات شد اشتباه كرد. اين قضيه مبتني بر نوعي حساب متكي به قدر مطلق modularموسوم به "حساب ساعت "clock arithmeticاست علت آن تست كه در اين روش اعداد به شكل اعداد روي صفحه ساعت جمع ميشوند. براي آشنايي با اين حساب خاص مورد زير را در نظر بگيريد. يك عدد دلخواه انتخاب كنيد و آن را قدر مطلق modulusبناميد. در مثال ساعت، اين عدد خاص كه قدر مطلق ناميده ميشود و مبناي محاسبه قرار ميگيرد، عدد ۱۲است. حال در هر نوع محاسبه رياضي با اعداد صحيح براي تبديل آن سيستم عددي به سيستم عددي قدر مطلق ۱۲كافي است بجاي همه مضارب صحيح عدد ۱۲عدد صفر قرار داده شود. همه اعداد ديگر بر همين اساس تغيير ميكنند. مثلا عدد ۲۵برابر است با . + ۲۴۱بنابراين عدد ۲۵در اين سيستم قدر مطلق برابر است با " ۱به قدر مطلق ."۱۲سيستمهاي حساب متكي به قدر مطلق به تعريفي كه ذكر شد سيستمهاي زيبايي هستند زيرا در آنها همه قواعد حساب متعارف كار ميكند و درعين حال برخي از اعداد غيرصفر درآن ناپديد ميشوند. قضيه كوچك فرما ميگويد اگر يك عدد اول را به عنوان قدر مطلق انتخاب كنيد ، داراي يك مشخصه ويژه خواهد بود. اين مشخصه عبارت از آن است كه يك فرمول خاص يعني (a)p-1در اين سيستم همواره برابر يك خواهد بود. در اين فرمول pعبارت است از عدد اولي كه به عنوان قدر مطلق انتخاب شده و aهر عدد ديگر است كه ضريب pمحسوب نميشود. اگر مقدار فرمول بالا برابر يك نباشد آنگاه عددي كه به عنوان عدد اول تصور كرده بوديد يعني pعدد اول نيست. به اين ترتيب ميتوان از اين قضيه كوچك فرما به عنوان مبنايي براي تدوين آزموني جهت تعيين اعداد اول استفاده كرد. اين آزمون كاملا بينقص نيست زيرا شماري از اعداد غير اول نيز از غربال آن رد ميشوند. اما ميتوان روايت هاي پيچيده تر و دقيق تري از اين آزمون را توليد كرد كه بسادگي به اعداد غير اول اجازه ورود ندهند. يك نمونه پيشرفته از اين آزمونها همان روش "آ.پي.آر" است كه در بالا اشاره شد. گروه آگراوال از همين قضيه كوچك فرما استفاده كرد اما آن را به نحو ديگري بسط داد. اين گروه به عوض آنكه با اعداد كار كنند از چند جملهايها استفاده كردند. چند جملهايها عباراتي جبري هستند نظير ( .a + b(2ايده استفاده از اين روش محصول كوشش آگراوال در دوراني بود كه بر روي رساله دكتري خود كار ميكرد و به اتفاق استاد راهنماي خويش "سومنات بيسواس" در سال ۱۹۹۹مقاله- اي را به چاپ رساند كه در آن يك روش آزمون اعداد اول پيشنهاد شده بود كه از همين چند جملهايها استفاده ميكرد و به شيوه احتمالاتي محاسبات را انجام مي داد. آگراوال بر اين باور بود كه ميتواند اين روش پيشنهادي را دقيقتر و عنصر احتمالاتي آن را حذف كرد. در سال ۲۰۰۱دو تن از دانشجويان او يعني كايال و سكسنا به يك نكته بسيار حساس و فني توجه كردند. ابتدا اين مساله سبب شد تا گروه سه نفره در آبهاي عميق نظريه اعداد غوطه ور شوند، اما اندك اندك برايشان روشن شد كه تنها يك مانع در راه تكميل روشي جهت آزمودن دقيق و سريع اعداد اول وجود دارد. مانع از اين قرار بود كه روش آنان تنها در صورتي كار ميكرد كه عدد اول مورد نظر كه با pنمايش داده ميشود همواره در محدوده خاصي جاي داشته باشد كه با اعدادي كه در آزمون شركت داده ميشوند مرتبط باشد. مشخصه ويژه اين مانع آن است كه عدد " "p-1بايد يك مقسوم عليه يا بخشياب بسيار بزرگ باشد. ادامه دارد... http://www.irna.ir/fa/news/view/menu-279/8405190499170629.htm | ||
|
| |
|
ماشين رياضي جديدي براي رام كردن اعداد اول ((۱ اعداد اول بسيار زيبا و جذابند و در عين حال معماي حيرت انگيز و سرگردانكننده اي را در برابر رياضي دانان مطرح ساخته اند: تعريف اين اعداد كاملا ساده است، رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن كاملا بينظم و فاقد قاعده به نظر ميآيد و هرچه شمار بيشتري از آنها شكارميشوند، كار شكار بعديها دشوارتر ميشود. طي قرنهاي متمادي رياضي دانان در شرق و غرب عالم به جستجوي راههايي براي دستيابي به اعداد اول برخاستهاند و با اين همه بهترين روشهايي كه تا بحال در اين زمينه ابداع شده چنان كند است كه حتي پر سرعتترين كامپيوتر هاي كنوني نيز نميتوانند كمك چنداني در شكار اين اعداد شگفت انگيز كنند. اعداد اول بر طبق تعريف اعدادي هستند كه تنها به ۱و بر خودشان تقسيم پذيرند. به عنوان نمونه اعداد ۲،۳،۵،۷،۱۱،۱۳،۱۷،۱۹اعداد اول كمتر از ۲۰ در سلسله اعداد طبيعي هستند. اما هرچه در اين سلسله پيش تر برويم اعداد اول ناياب تر ميشوند. بطوريكه اگر چندين ميليون بار به سرعت كامپيوتر هاي كنوني افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترين عدد اولي كه تا به حال شناخته شده افزوده ميگردد. رياضي دانان در آرزوي دست يافته به روشي هستند كه با استفاده از آن بتوانند با سرعت به يافتن اعداد اول توفيق يابند و يا اگر با عددي هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند كه آيا عدد اول است ؟ - اما يافتن چنين روشي به فسفر مغز نياز دارد و نه سرعت كامپيوتر. - مانيندرا اگراوال ,Manindra Agrawalو دانشجويانش نيراج كايال Neeraj Kayalو نيتين سكسنا Nitin Saxenaدر موسسه تكنولوژي كانپور مدعي شدهاند كه در آستانه تكميل آزموني هستند كه اول بودن يا نبودن هر عدد طبيعي را با سرعت مشخص ميكند. اين آزمون در صورتي كه تكميل شود ميتواند تبعات و نتايج بسيار گستردهاي براي جهان كنوني به بار آورد. درحال حاضر بسياري از معاملات تجاري و نقل و انتقالات مالي و نيز مبادله اطلاعات محرمانه از طريق شبكه هاي مخابراتي مانند اينترنت و با بهره گيري از رمز كردن پيامها به انجام ميرسد. اعداد اول در تنظيم اين قبيل رمزها نقشي اساسي بر عهده دارند و از همين رو دستيابي به اعداد اول جديد كه ديگران از آن بيخبر باشند براي سازندگان اين رمزها و نيز مشتريان آنان از اهميت زياد برخوردار است. اما اگر روش اين محققان هندي تكميل شود در آن صورت امنيت اين قبيل نقل و انتقالات در معرض خطر جدي قرار خواهد گرفت. سابقه قرار گرفتن رياضي دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پيش باز مي گردد. در سال ۱۸۰۱كارل گائوس از بزرگترين رياضي دانان اعلام كرد كه مساله تشخيص اعداد اول از اعداد غير اول يكي از مهمترين مسائل حساب به شمار ميآيد. اعداد اول به يك معنا همان نقشي را در سلسله اعداد بازي ميكنند كه اتمها در ساختار بناي كيهان دارند- اين اعداد سنگ بناي ناپيداي ديگر اعداد محسوب ميشوند. يكي از عاديترين راههاي شناسايي اعداد اول تقسيم آن به ديگر اعداد است. از طرف ديگر با اندكي تامل روشن ميشود كه اعداد زوج عدد اول نيستند زيرا همگي بر ۲قابل قسمتند. اعدادي كه بتوان جذر آنها را به دست آورد نيز اول نيستند. اما اين روشها براي شناسايي اعداد اول بزرگ به كلي بيفايدهاند. به عنوان مثال اگر عدد اولي داراي ۱۰۰رقم باشد در آن صورت كل عمر باقيمانده از كيهان بر اساس نظريه هاي جديد كيهانشناسي نيز براي مشخص كردن اول بودن يا نبودن اين عدد با اين شيوه هاي متعارف كفايت نميكند. بنابراين رياضي دانان به سراغ روشهاي ديگر رفتهاند. مهمترين سوال در مورد همه اين روشها آن است كه با چه سرعتي ميتوانند يك عدد اول را مشخص كنند و با ازدياد ارقام عدد اول زمان لازم براي محاسبه چه اندازه طولاني تر مي شود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتي از شمار ارقام عدد ازدياد يابد در آن صورت اين روش روش قابل قبولي به شمار آورده ميشود . به اين نوع روشها كه زمان به صورت تواني در آنها افزوده ميشود "روشهاي تواني" ميگويند. روشهاي ديگر كه زمان در آنها با سرعت بيشتري افزايش مييابد روشهاي غيرتواني نام دارند. به عنوان مثال روش تقسيم معمولي يك روش غيرتواني براي يافتن اعداد اول است. در اين روش زمان لازم براي تعيين اول بودن يك عدد با dرقم، برابر با /۱۰d/2اين نوع روشها بسيار نامناسبند. در سال ۱۹۵۶منطقدان برجسته آلماني كورت گودل اين پرسش را مطرح ساخت كه آيا ميتوان اين نوع روشهاي تقسيم را بهبود بخشيد. تلاش خود او نهايتا به كشف شماري از روشهاي عملي براي يافتن اعدادي به بزرگي ۱۰۰رقم يا بيشتر منجر شد. همه اين روشها احتمالاتي هستند و بنابراين در مواردي پاسخ غلط به دست ميدهند هرچند كه اين موارد بسيار نادرند. ادامه دارد... منبع: http://www.irna.ir/fa/news/view/menu-279/8405194318165146.htm | ||
نقش هندسه در ریاضی
بین فلاسفه ی ریاضی و تاریخ دانان ریاضی اختلاف نظر وجو دارد که آیا ابتدا مفاهیم مربوط به عدد در ریاضیات مطرح شد، یا مفاهیم مربوط به خط و صفحه و پیوستارهای هندسی.
ولی آنچه مسلم است تکامل ریاضیات در ارتباط با پیشرفتهای دو رشته ی حساب و هندسه صورت پذیرفته است. اما این دو عنصر اساسی ریاضیات همواره همدوش یکدیگر به پیش نرفته اند. چه بسیار اتفاق افتاده است که این دو با هم رقابت داشته اند و ترقی یکی باعث رکود دیگری گشته است.
اولین قدم واقعی ریاضی بوسیله ی هندسه برداشته شد. یونانیان سال های 600 تا 300 قبل از میلاد به ریاضیات سازمان و رنگ تجدد و استدلال قیاسی دادند و ساختمان عظیم هندسه ی اقلیدسی را بنیان نهادند یونانیان خطوط و منحنی های(مثلث، دایره، بیضی، هذلولی و سهمی) را در یک طبقه و سطوح (مکعب، کره، پارابولوئید و هیپر بولوئید) را در طبقه ای دیگر مورد مطالعه قرار می دهند چون یونانیان بطور خالص در هندسه کار می کرردند بنابراین هندسه ی اقلیدسی، جبری را که تا آن زمان شناخته شده بود نیز در بر می گرفت مثلا حل معادله درجه دوم یک مجهولی به روش هندسی انجام می شد.
پس از ویرانی تمدن یونان بوسیله ی اسکندر و انتقال آن به اسکندریه، دانشمندان اسکندریه حساب و جبر را به هندسه ی اقلیدسی اضافه کردند تا بدین وسیله بتوانند نتایج کمی بدست آوردند.
بعد از ریاضیدانان اسکندریه ریاضیدانان اسلامی و ایرانی در پیشرفت و تکامل ریاضیات نقش عمده ای به عهده داشتند. محمد بن موسی خوارزمی بنیان گذار جبر و مقابله است که کلمه جبر یا الجبر, Algebra Algebre از نام کتاب وی گرفته شده است و واژه ی الگوریتم نیز شکل لاتینی شده ی نام خوازرمی است. (الگوریتم به معنی متد و قوانین محاسبه است.)
در تکامل هندسه که منحنی به پیدایش هندسه ها و فضاهای جدید گردیده است ریاضی دانان ایرانی نقش مهمی داشته اند. حکیم عمر خیام اولین کسی است که در جبر و مقابله، معادلات را بر حسب درجه مجهول مرتب، و با روشی تحلیل گونه حل و بحث کرد. خیام نخستین ریاضی دانی است که ریشه های معادله ی درجه سوم را به روشی هندسی بدست آورد و مقدمات کاربرد جبر در هندسه را طرح ریزی کرد.
در رساله ای بنام« فی شرح مااشکل من مصادرات اقلیدس» خیام به اصل توازی که اقلیدس جز اصول متعارفی آورده است، ایراد گرفته، می گوید که این حکم نیاز به اقامه ی برهان دارد و خود برای آن هشت مقدمه می آورد که بعدها خواجه نصیر الدین طوسی ریاضیدان بزرگ ایرانی مقدمه هشتم او را مخدوش می یابد و خود زمینه ی اثبات اصل توازی تلاش می نماید.
نقش هندسه در ریاضی
خواجه نصیر الدین طوسی نخستین اثر مستقل در مثلثات (مثلثات زائیده ی احتیاج مربوط به محاسبات عملی بخصوص نیاز به وسیله ای برای محاسبه ی اجزا اشکال مختلف هندسی می باشد). را به نام «شکل القطاع» Seklolquetta نوشت که پس از ترجمه، مدتها کتاب درسی در اروپا و آمریکا بود. پس از نهضت علمی اروپا، ریاضیدانان بتدریج اعداد منفی و بی نهایت بزرگ و بی نهایت شگفت انگیزی بسط و توسعه دادند که از آن جمله است:
- هندسه ی تحلیلی، که بوسیله ی دکارت در سال 1619 به دنیا معرفی گردید و پیر فرما ریاضیدان فرانسوی نیز تقریبا بطور همزمان با دکارت این هندسه را کشف کرد. (1601-1665)
- هندسه ی تصویری که توسط دزارگ (1593-1662)و بلزپاسکال(1623-1662) ریاضیدان های فرانسوی پایه گذاری شد.
- هندسه ی ترسیمی که بوسیله ی گاسپار مونژ ریاضیدان های فرانسوی(1746-1818) بنیان نهاده و کشف شد.
- محاسبه ی برداری، شاخه ای از هندسه که در رابطه ی تنگاتنگ با نیازهای مکانیک و فیزیک شکل گرفته است. توسط ویلیام هامیلتون(1805-1865) ریاضیدان ایرلندی و هرمان گراسمان(1809-1877) ریاضیدان آلمانی پایه گذاری گردید و ژیبس (1839-1903)فیزیکدان آمریکایی آن را به روش جدید ارائه کرده است.
- هندسه ی دیفرانسیل، که شیب و انحنا منحنی ها و خطوط ژئودزیک geodesic یا کوتاهترین فاصله بین دو نقطه بر روی یک سطح را بررسی می کند، توسط نیوتن و لایب نیتس کشف و پایه گذاری گردید.
- هندسه های نااقلیدسی که جایگاه خاص خویش را دارند، هر هندسه ای غیر از هندسه ی اقلیدسی را هندسه ی نااقلیدسی می نامند. بسیاری از این گونه هندسه ها تا کنون شناخته شده اند. تلاش برای اثبات اصل توازی اقلیدس، موجب پیدایش هندسه های نااقلیدسی گردید.
دانشمندان در طی 2000 سال تلاش کردند تا اصل توازی را آن چنان ساده و بدیهی هم نبود از چهار اصل دیگر نتیجه بگیرند و یا اصل دیگری را که به خودی خود بداهت بیشتری داشته باشد، جایگزین آن سازند اما همه ی این تلاش ها به ناکامی انجامید.
نخستین تلاشی که برای اثبات اصل توازی به عمل آمد از آن بطلمیوس در قرن دوم میلادی است و سپس پروکلوس در قرن پنجم میلادی سعی نمود که اصل توازی را ثابت کند . مهمترین تلاشی که بعدا برای اثبات اصل توازی به عمل آمد از آن خواجه نصیر الدین طوسی ریاضیدان ایرانی و سپس جان والیس(1616-1703) ریاضیدان انگلیسی است. اصل توازی آن چنان ذهن آدرین ماری لژاندر فرانسوی را که یکی از بهترین ریاضیدانان عصر خود بود و در شاخه های مختلف ریاضی کشف های مهمی دارد، به خود معطوف داشته بود که در طی 29 سال چند بار اصول هندسه اش را تجدید چاپ کرد و هر بار یکی از کوشش های تازه اش در مورد اصل توازی را در آن درج نمود.
فورکوش بویوئی ریاضیدان مجارستانی و جیرو لاموساکری ایتالیایی(1667-1733) نیز در این زمینه تلاش نمودند.
نیکولای لوباچفسکی نخستین کسی بود که در سال 1829 عملا مقاله ای را در زمینه ی هندسه ی نااقلیدسی منتشر کرد. یانوش بویوئی اکتشافات خود در زمینه هندسه نااقلیدسی را در سال 1831 در یک ضمیمه ی 26 صفحه ای در کتاب تنتامن که به پدرش نوشته شده بود منتشر کرد.
گائوس که از 15 سالگی یعنی از 1792 در هندسه ی نااقلیدسی کار می کرده است در حقیقت پیش تر از یانوش بویوئی و لوباچفسکی هندسه ی هذلولی را کشف نمود.
در هندسه ی هذلولی به جای اصل توازی اقلیدس اصل زیر که به اصل هذلولی مشهور است گذاشته می شود:
در هندسه هذلولی یک خط L و یک نقطه P غیر واقع بر L وجود دارند چنان که دست کم دو خط موازی با L از نقطه ی P می گذرد.
هندسه ی دیگر نااقلیدسی هندسه ی بیضوی است که توسط ژرژ فردریک برنهاد ریمان ریاضیدان آلمانی کشف گردید. هندسه ی بیضوی بر این اصل استوار است که از یک نقطه ی P واقع در خارج یک خط مانندL اصلا نمی توان خطی به موازات خط L کشید، یعنی هندسه ای که در آن خط موازی وجود ندارد
بوتاون تورا کاوالیری (1564-1642) اهل میلان، از همان سال های نخستین به ریاضیات علاقه مند بود،و به ظاهر زیر تاثیر گالیله، روش « غیر قابل تقسیم ها» را در هندسه بوجود آورد که در اثر بزرگ او در سال 1635، با عنوان «هندسه، با طرح تازه ای بر اساس غیر قابل تقسیم های پیوسته»، به شهرت رسید.
غیر قابل تقسیم ها، از نظر کاوالیری، وترهای موازی در درون شکل روی صفحه، و صفحه های موازی در درون جسم بود. او برای مقایسه ی شکل های روی صفحه و جسم های فضایی، مفهوم « مجموع همه ی غیر قابل تقسیم ها» را آورد که تماس سطح و فضای جسم را پر می کردند.
برای کاوالیری، نسبت این مجموع ها، همان نسبت مساحت ها و حجم ها بود. او شکل های روی صفحه را، بین دو خط راست موازی در نظر گرفت.
اصل کاوالیری درباره مساحت:
اگر فرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطی موازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند، مساحت های آن دو شکل برابر است.
با توجه به شکل دو شکل بر روی افق قرار گرفته اند. اگرهر خطی به موازات قاعده مانند d رسم کنیم و داشته باشیم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.
اصل کاوالیری در باره حجم ها:
دو شکل فضایی و صفحه ای که قاعده های دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگیرید. اگر هر صفحه ای موازی با این صفحه که یکی از این دو شکل را قطع می کند، دیگری را نیز قطع می کند و سطح مقطع های حاصل دارای مساحت های برابر باشند، آنگاه این دو شکل فضایی حجم یکسان دارند.
خود کاوالیری در این زمینه می نویسد: «دو جسمی که قاعده ی آنهای بر یک صفحه و ارتفاعشان برابر باشد، به شرطی هم ارزند یعنی حجم های برابر دارند که مقطع های آنهابا صفحه های موازی با قاعده باشد.»
این نظام کار، به نام «نظام کاوالیری» معروف است.
کاوالیری بر پایه ی این نظام، قضیه های زیادی را اثبات می کند. برای نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت های دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع های متناظر آن ها.
ابهامی که در مفهوم «مجموع غیر قابل تقسیم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضی از هم عصران کاوالیری شد. به همین خاطر کاوالیری کتاب دیگری با نام «شش طرح هندسی» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هایی را که بکار می برد، دقیق تر کند، با وجود این، خود کاوالیری تا پایان زندگی نسبت به کافی بودن استدلالهای خود در تردید باقی بود، گرچه به درستی آن ها اعتقاد داشت.
طرح کاوالیری در هندسه و آموزش او درباره ی غیر قابل تقسیم ها، تنها برای درک بهتر هندسه ی مقدماتی سودمند نبود. این آموزش، یعنی جمع کردن غیر قابل تقسیم ها، پیش در آمدی برای انتگرال گیری بود. کاوالیری نماد انتگرال را بکار نمی برد، ولی در واقع از انتگرال گیری استفاده می کرد...
به جز این، در هندسه ی کاولیری به قضیه هایی بر می خوریم که برای پیدایش محاسبه ی دیفرانسیلی، ارزش معینی دارند. از آن جمله، نخستین گزاره ای که در هندسه آمده، هم ارز با قضیه رول است، و به دنبال آن گزاره ای آمده است که مضمون آن اینست: در نقطه های ماکزیمم و می نیمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازی است.
یکی از کمبود های جدی هندسه ی کاوالیری این است که مولف از بکارگیری جبر فراری است و همه جا به هندسه دانان قدیمی تکیه می کند. بی تردید، بکار گیری نمادهای جبری که در زمان کاوالیری رایج شده بود، می توانست کارهای او را دقیق تر، کامل تر و قابل درک تر کند.
کشتی دزدان دریایی در نزدیکی جزیره ای به صخره های دریایی برخورد میکند و شکسته میشود. دزد ها سعی میکنند که با شنا کردن خودشان را به جزیره برسانند اما فقط شش نفر آنها سالم به آنجا میرسد و بقیه غرق میشوند. جزیره، نقطه ای غیر مسکونی ولی مملو از درختان نارگیل بود. دزد ها تا تاریک شدن هوا هر چه توانستند نارگیل چیدند و در گوشه ای روی هم انباشتند ولی چون خیلی خسته بودند تصمیم گرفتند که بخوابند و فردا صبح نارگیل ها را بین خودشان به تساوی تقسیم کنند. در ضمن قرار گذاشتند که از شب تا صبح به نوبت یکی از آنها بیدار بماند و کشیک بدهد تا اگر کشتی یا قایقی از آن دور و بر عبور کرد او آنها را بیدار کند تا تقاضای کمک کنند.
دزد اولی که مشغول کشیک دادن بود پیش خود فکر کرد حالا که رفقایش در خوابند بهتر است مقداری از نارگیل ها را بدزدد و برای خود در جایی مخفی کند تا فردا صبح که بقیه ی نارگیل ها به تساوی تقسیم شدند، سهم او از دیگران بیشتر باشد. بدین ترتیب اگر قرار باشد که مدت زیادی در آن جزیره بمانند شانس زنده ماندنش زیادتر باشد. او نارگیل ها را به شش قسمت مساوی کرد و دید که یکی زیاد آمده است. آن یکی را داد به میمونی که از آن حوالی میگذشت و یک ششم نارگیل ها را برد در جایی زیر خاک مخفی کرد و بقیه ی نارگیل ها را روی هم انباشت و دزد بعدی را بیدار نمود و خود به خواب رفت.
دزد دومی هم همان فکر به سرش زد و خرمن نارگیل ها را به شش قسمت کرد دید یکی زیاد آمده است. او هم آن دانه ی اضافی نارگیل را جلو میمونی انداخت که از آنجا میگذشت و بعد مثل دزد اولی یک ششم نارگیل ها را برای خودش در جایی مطمئن در زیر خاک مخفی کرد و بقیه ی نارگیل ها را روی هم ریخت و دزد سومی را از خواب بیدار کرد و خود به خواب رفت.
سرتان را درد نیاورم و قصه را کوتاه کنم. هر کدام از دزد ها که کشیک میداد درست همان کاری را میکرد که دزد های قبلی کرده بودند. گویی همه در یک مکتب درس خوانده بودند! دزد ششمی هم که کار خود را تمام کرد دیگر هوا روشن شده بود. بقیه را از خواب بیدار کرد و همگی بدون آنکه به روی خود بیاورند یا چیزی از خود بروز بدهند، انگار شش معصوم، مشغول تقسیم نارگیل ها شدند. نارگیل ها را که به شش قسمت مساوی تقسیم کردند دیدند که باز یکی زیاد آمده است. توافق کردند که آنرا به میمونی که در آن اطراف بود بدهند و سپس هر یک سهم خود را برداشت که در جایی نگهداری کند.
حالا پس از خواندن این قصه زحمت بکشید و برای ما روشن کنید که این آقایان دزد، پیش از آنکه بخوابند و کشیک دادن ها شروع شود دست کم چند نارگیل چیده بودند؟ اگر هم بتوانید معلوم کنید که هر یک از آنها در نهایت چند نارگیل گیرش آمده است بقول "دزدهای وطنی" فبهاالمراد
| اگر m یک عدد طبیعی و a وb دو عدد صحیح باشند، و m بتواند اختلاف بین a و b را بشمارد، آنگاه میگوییم a همنهشت است با b به پیمانه m. |
تعریف
اگر a و b اعدادی صحیح و m عددی طبیعی باشد گوییم a همنهشت است با b به پیمانه m هرگاه (m|(b-a و مینویسیم (به پیمانه m)
یا 
. - رابطه همنهشتی یک رایطه همارزی است پس این رابطه میتواند مجموعه اعداد صحیح را افراز کند.
ویژگیهای همنهشتی
- اگر b≡a به پیمانه m آنگاه به ازای عدد صحیح c داریم: a+c ≡ b+c به پیمانه m .
- اگر b و a باهم همنهشت و (d=(a,b و c≡d به پیمانه m آنگاه ac≡bc به پیمانه m.
- اگر b≡a به پیمانه m ، آنگاه به ازای n های طبیعی
به پیمانه m.
- به ازای تمام aوb های همنهشت به پیمانه m مجموع و حاصلضرب متناظرشان نیز باهم همنهشتند به پیمانه m.
- اگر b≡a به پیمانه m و c عدد صحیحی باشد، آنگاه ac≡bc به پیمانه m.
لم مربوط به همنهشتی:
- اگر a≡b به پیمانه m باشد و d یکی ازمقسوم علیه های m باشد آنگاه a≡b به پیمانه d.
- اگر ac≡bc به پیمانه m و m,c)=1) آنگاه a≡b به پیمانه m.
- اگر r باقیمانده تقسیم a بر m باشد، انگاه، a≡r به پیمانه m.
مثال
.
- مجموعه اعدادی را بیابید که اختلافشان بر عدد 2 بخش پذیر باشد.
طبق الگوریتم تقسیم داریم a=2q+r , 0≤r<2 ؛ یعنی a=2q یا a=2q+1.
پس کلاس همارزی 0 یا اعداد بخشپذیر بر 2 عبارت است از
به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2، همواره بر 2 بخش پذیر است.
و همچنین کلاس همارزی 1عبارت است از
به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2 نیز همواره بر 2 بخش پذیر است.
پرویز شهریاری از چهرههای شناخته شده در عرصه علم و آموزش ایران، در سال ۱۳۰۵ در کرمان به دنیا آمد.
 دوم آذر ۱۳۸۵ تولد ۸۰ سالگی | |
| زمینه فعالیت | ریاضیدان، نویسنده، روزنامهنگار و مترجم |
| تولد | ۲ آذر ۱۳۰۵ کرمان |
فهرست مندرجات[مخفی شود] |
[ویرایش] زندگی
[ویرایش] دوران خردسالی
پدرش دهقان زادهای بود که روی زمینهای اربابی کارگری میکرد. شهریاری از خردسالی با فقر و نداری دست و پنجه نرم کرد. بعد از از دست دادن پدر، مسئولیت خانواده به گردن مادر او (گلستان شهریاری) بود.
[ویرایش] دوران نوجوانی و جوانی
او تا سال سوم دبیرستان را در ایرانشهر گذراند و وارد دانشسرای مقدماتی کرمان شد. در خرداد ۱۳۲۳ فارغالتحصیل شد و برای ادامه تحصیل به تهران آمد. در تهران در سال 1332 در رشتهٔ ریاضی در دانشکدهٔ علوم دانشگاه تهران و دانشسرای عالی (دانشگاه تربیت معلم تهران کنونی) فارغ التحصیل شد [۱]. یکسال در شیراز معلم بود. بعد (در سال 1333) به تهران آمد. آن روزها در دبیرستان اندیشه و دبیرستان های مربوط به گروه فرهنگی خوارزمی درس می داد. در دانشکدهٔ فنی دانشگاه تهران، در کلاس های روزانه و شبانهٔ دانشگاه تربیت معلم و در اراک در مدرسهٔ عالی علوم اراک هم مشغول بود [۲].
[ویرایش] آغاز زندگی سیاسی
او چون خود پرورده دردهای اجتماعی بود، به فعالیت سیاسی رو آورد و تلاش کرد تا رسیدن به هدف، دست از مبارزه بر ندارد و با عشقی سرشار از انسانیت و فداکاری برای رهایی مردم از دردها و تضادهای اجتماعی مبارزه میکرد. در سال ۱۳۲۸ اولین بازداشت شدن و به زندان افتادن را تجربه کرد و پس از آن بارها به زندان افتاد. او در بند هم از تعلیم تعلم باز نماند و به مطالعه پرداخت. زبان روسی را در زندان فرا گرفت و دست به تالیف و ترجمه زد. تاریخ حساب تانون را در زندان ترجمه نمود.
[ویرایش] فعالیتها
از سن ۱۵ سالگی راه معلمی را پیش گرفت. با انتشار نشریاتی چون اندیشه ما، وهومن و چیستا با توده مردم ارتباط مستقیم بر قرار نمود. با تأسیس دبیرستانهای "خوارزمی (۱۳۳۹)"، "مرجان (۱۳۴۰)" و "مدرسه عالی اراک (۱۳۳۵)" سعی نمود محیطی مناسب برای رشد جوانان مملکت ایجاد کند.
با تالیف کتابهای ریاضی در فاصله ۱۳۳۵ تا ۱۳۵۲ و همزمان با آن تالیف و ترجمه صدها کتاب، در تاریخ و آموزش ریاضیات توانست نقش مهمی در پرورش فکری دانش آموزان و دانشجویان ایفا کند.
[ویرایش] نشریهٔ سخن علمی
نشریهٔ «سخن علمی» از سال 1341 منتشر شد و استاد پرویز شهریاری سردبیر این نشریه بود. دربارهٔ این نشریه و سرنوشت آن استاد پرویز شهریاری می نویسد:
«این نشریه هشت سال پیاپی منتشر شد: در سال اول 6 شماره و در 7سال بعد، هر سال 12 شماره. روی هم 90 شماره. در بهمن 1348 بلایی نازل شد. در یکی از شعبه های سازمان امنیت مرا خواستند. برایم چای آوردند و بسیار با محبت صحبت می کردند و در خواست کوچکی داشتند. مجلهٔ سخن علمی را به ما (یعنی سازمان امنیت) واگذار کنید. ما همچنان خانلری و تو را به عنوان صاحب امتیاز و سردبیر در مجله اعلام می کنیم، ولی شما هیچ دخالتی در آن نخواهید داشت. به هر کدام از شماها (دکتر خانلری و من)، ماهیانه پنج هزار تومان می دهیم؛ این قرار هم باید همین جا دفن شود. من به ظلاهر مخالفتی نکردم، ولی گفتم، اجازه بدهید سال هشتم را تمام کنیم، آن وقت خدمت می رسم و مجله را تحویل می دهم. شمارهٔ 12 نشریه تا فروردین 1349 طول کشید و در آن یادداشتی به صورت یک برگ رنگی گذاشتم که این، آخرین شماره است.
به ظاهر «سازمان امنیت چند مجله را به همین صورت در دست گرفته بود. بعد از پخش مجله، آقای دکنر خانلری مرا خواست و جریان را جویا شد. به او گفتم، چه پیش آمده است ... ولی اکنون با کاغذی که لای مجله گذاشته و پخش کرده ام، گمان می کنم مسأله منتفی شده باشد و در واقع هم بعد از آن خبری نشد. برای اینکه ارزش پنج هزار تومان را در آن زمان بفهمید، باید یادآوری کنم که من از همهٔ کارهایی که می کردم، روی هم مایانه، کمتر از آن درآمدداشتم، مجلهٔ سخن علمی هم اشتراکی برابر 250 ریال برای 12 شماره داشت. [۳]»
- استاد شهریاری هم اکنون سردبیر نشریهٔ دانش و مردم و نشریهٔ چیستا است [۴] .
[ویرایش] فعالیتهای دیگر
- انتشار ماهنامه "اندیشه ما"
- انتشار اولین کتاب " جنبش مزدک و مزدکیان"
- تهیه یک دوره کتاب درسی ریاضی دوره اول دبیرستان
- سر دبیری هفته نامه "هومن" تا ۲۸ مرداد ۱۳۳۲
- شروع به کار در دبیرستان "اندیشه" از مهر ۱۳۳۸
- راهاندازی اولین کلاس کنکور در ایران با نام گروه فرهنگی خوارزمی
- تأسیس دبیرستان پسرانه خوارزمی
- تأسیس دبیرستان دخترانه مرجان
[ویرایش] آثار
ستاره * در جلوی عنوان کتاب یعنی در بخش پیوند به بیرون وب گاهی برای معرفی بیشتر کتاب آمده است.
[ویرایش] تاریخ، فلسفه، کاربرد و آموزش ریاضیات
- تاریخ حساب، رنه تاتون، انتشارات امیرکبیر، چاپ اول 1329، ترجمه.
- ریاضیات در شرق، انتشارات خوارزمی، ۱۳۵۲، ترجمه.
- سرگذشت آنالیز ریاضی، انتشارات امیرکبیر، ۱۳۵۴، ترجمه.
- ریاضیات کار بسته، انتشارات هدهد، ۱۳۶۰، ترجمه.
- لباچوسکی و هندسه نااقلیدسی، انتشارات توکا،۱۳۶۰، تالیف.
- پویایی ریاضیات، انتشارات پویش، ۱۳۶۰، ترجمه.
- اواریست گالوا، لئوپولد انيفلد، چاپ اول ۱۳۶۴ انتشارات هدهد، چاپ دوم 1373 نشر بردار، ترجمه.
- من ریاضی دانم، نوربرت وینر، انتشارات فاطمی، چاپ اول ۱۳۶۴، ترجمه.
- آفرینندگان ریاضیات عالی، ل. س. فریمان، انتشارات فردوسی، چاپ اول ۱۳۶3، ترجمه.
- خوارزمی و انفورماتیک، شرکت داده پردازی ایران، ۱۳۷۰، تالیف.
- خلاقیت ریاضی، جورج پولیا، انتشارات فاطمی، ۱۳۷۳، چاپ چهارم، ترجمه.
- عالی جناب چکمه (گوشه ای از تاریخ ریاضیات)،انتشارات پژوهنده، چاپ اول ۱۳۷۸، چاپ دوم 1384، تالیف.
- سرگذشت ریاضیات، نشر مهاجر، چاپ اول ۱۳۷۸، تالیف.
- لگاریتم (تاریخ استدلالی لگلاریتم)، گ. ک. استاپو، انتشارات خوارزمی، چاپ اول ۱۳۴۸.
- هندسه در گذشته و حال، انتشارات امیرکبیر، سالهای پنجاه، ترجمه.
- غیاث الدین جمشید کاشانی ریاضی دان ایرانی، انتشارات فنی ایران، ۱۳۷۸، تالیف.
- جوهر،روش و کارآیی ریاضیات، ۳ جلد، انتشارات فنی ایران، ۱۳۸۰، ترجمه.
- مسئله های تاریخی ریاضیات *، و. د. چيستياکوف، نشر نی، ترجمه.
- فلسفه، اخلاق و ریاضیات، انتشارات پژوهنده، چاپ نخست ۱۳۸۰، ترجمه و تالیف.
- خلاقیت در ریاضیات و مهندسی، انتشارات پژوهنده، چاپ اول ۱۳۸۰، تألیف و ترجمه.
- ریاضیات و هنر، انتشارات پروهنده، چاپ نخست 1381، ترجمه و تألیف.
- آموزش ریاضی، نشر مهاجر، چاپ اول 1384، ترجمه و تألیف.
- گاهنامه ریاضی، شامل شرح حال و نظر ریاضی دانان، انتشارات مهاجر، ۱۳۸۰، تالیف.
- شما هم می توانید در درس ریاضی خود موفق باشید، انتشارات مدرسه، چاپ اول 1378، چاپ دوم 1380، تألیف.
- نگاهی به تاریخ ریاضیات در ایران، شرکت انتشارت علمی و فرهنگی، چاپ نخست بهار 1385، تألیف.
[ویرایش] کتابهای درسی
- دوره کتابهای درسی ریاضی سه سال اول دبیرستان (نظام قدیم)، شامل دو جلد حساب (برای سالهای اول و سوم)، دو جلد جبر (سالهای دوم و سوم)، و سه جلد هندسه (سالهای اول و دوم و سوم)، کلاله خاور، ۱۳۳۵-۱۳۳۷، تالیف
- دوره کامل ریاضیات دبیرستانی و کتابهای مسائل مربوط به آن(با همکاری آقایان امامی، ازگمی، بهنیا، شیخ رضایی)؛ انتشارات علمی و سپس امیر کبیر، در فاصله سالهای ۱۳۳۸ تا ۱۳۴۴، تالیف.
- ریاضیات ۵ سال اول دبیرستان، و ۳ سال راهنمایی تحصیلی (با همکاری آقای شمسآوری)، سالهای ۱۳۴۵-۱۳۵۱، تالیف
- جبر سال سوم رشته ریاضی فیزیک (با همکاری آقای امامی)، ۱۳۵۲، تالیف.
[ویرایش] آموزش مبحث یا شاخه ای از ریاضیات
- روش مختصات، ل. س. پونتریاگین، نشر پژواک کیوان، چاپ اول پاییز 1382، ترجمه.
- مثلثات مستقیمالخط و کروی، س. ای. نووسلو، چاپ چهارم 1378 نشر دانش امروز، ترجمه.
- روشهای جبر، دو جلد، چاپ اول،انتشارات امیر کبیر، ۱۳۴۴، تالیف.
- اعداد اول *، امیل بورل، انتشارات امیر کبیر، چاپ اول ۱۳۴۴، چاپ سوم 1381، ترجمه.
- جبر از آغاز تا پایان (خودآموز)، واویلف/ملنیکف/آلکس نیک/پاسی چنکو، انتشارات تهران، چاپ اول 1369، چاپ دوم زمستان 1371، ترجمه..
- تقارن در جبر، و. گ. بالتیانسکی/ن. یا. ویلنکین، انتشارات امیرکبیر، چاپ مرداد 1347، ترجمه.
- هندسهٔ غیراقلیدسی، نشر اندیشه، چاپ سوم اردیبهشت 1352، ترجمه.
- ورودی به نظریهٔ مجموعه ها، ژ. بروئر، انتشارات پویش، چاپ اول 1359، ترجمه.
- استقراءِ ریاضی، نوشتهٔ سومینسکی و گولووینا و یاگلوم، انتشارات خوارزمی، چاپ اول خرداد ماه 1348، چاپ دوم آذر ماه 1365، چاپ سوم آبان ماه 1377.
- نظریهٔ مجموعه ها، واتسلاو سرپینسکی، انتشارات خوارزمی، چاپ اول ۱۳۵۰، چاپ سوم مهرماه 1364، ترجمه.
- نامساویها، پاول پترویچ کارو کین، انتشارات خوارزمی، ۱۳۵۰، ترجمه.
- اشتباه استدلالهای هندسی، انتشارات خوارزمی، ۱۳۵۰، ترجمه.
- ورودی به منطق ریاضی، انتشارات خوارزمی، ۱۳۵۴، ترجمه.
- انعکاس، انتشارات خوارزمی، ۱۳۵۱، ترجمه.
- نظریهٔ ساختمان های هندسی، آگوست آدلر، انتشارات فردوس ، چاپ اول 1369، ترجمه.
- هندسه پرگار، انتشارات دانشجو، سالهای شصت، ترجمه.
- عبارتهای متقارن در جبر مقدماتی، رز نشر، سالهای شصت، تالیف.
- قدر مطلق در حوزه عددهای حقیقی، رز نشر، سالهای شصت، تالیف.
- آنالیز برداری و نظریه میدان، انتشارات فاطمی، سالهای شصت، ترجمه.
- قضیهٔ مستقیم و قضیهٔ معکوس *، ا. س. گراوشتین، نشر نی، چاپ اول 1375، ترجمه.
- تابعهای متناوب، رز نشر ۱۳۶۸، تالیف.
- بخش درست عدد [x]، رز نشر ۱۳۶۸، نشر مهاجر 1378، تالیف.
- روش استقرای ریاضی، رز نشر، ۱۳۶۸، تالیف.
- ورودی به نظریه آنالیز ترکیبی، رز نشر، ۱۳۶۸، تالیف.
- بسط دو جملهای با نمای طبیعی، رز نشر، ۱۳۶۸، تالیف.
- تربیع دایره و غیر جبری بودن عدد پی، رز نشر،۱۳۶۸، تالیف.
- ورودی به نظریه احتمال، رز نشر، ۱۳۶۸، تالیف.
- آنالیز ریاضی، رز نشر، ۱۳۶۸، ترجمه.
- لگاریتم، گ. استاکوف، انتشارات خوارزمی، سالهای پنجاه، ترجمه.
- آنالیز ریاضی، ۳ جلد (با همکاری باقر امامی)، انتشارات فردوس، ۱۳۶۸، ترجمه.
- قضیهٔ فرما *، م. م. پوستنیکوف، نشر نی، چاپ اول ۱۳۷۹، ترجمه.
- بنیان های هندسه، و. ای. کوستین، نشر مهاجر، چاپ اول 1381، ترجمه.
- آنالیز برداری، آ. آ. گولدفاین، انتشارات فاطمی، چاپ اول 1364، چاپ دوم 1368، ترجمه.
[ویرایش] ریاضیات به زبان ساده
- بازی با بی نهایت، روزا پتر، چاپ اول 1356 انتشارات توکا، چاپ دوم 1363 انتشارات فردوسی، ترجمه.
- منحنیها در فضا، دونووان جونسون، انتشارات چاپار، چاپ اول 2536، ترجمه.
- دستگاههای محدود ریاضیات، انتشارات چاپار، 2534، ترجمه.
- داستان مجموعه ها، ن. ی. ویلنکین، انتشارات توکا، چاپ اول ۱۳۵۵، چاپ دوم شهریورماه 1357، ترجمه.
- داستانهای ریاضی، انتشارات توکا، سالهای شصت، ترجمه.
- روش مختصاتی و هندسهٔ چهار بعدی، ی. م. گلفاند/ا. گ. گلاگوله وا/آ. آ. کیریلوف، انتشارات خوارزمی، ۱۳۵۶، ترجمه.
- مسیر ریاضیات جدید، و. و. سایر، رز نشر/سازمان چاپ و نشر مشهد، چاپ دوم بهار 1369، ترجمه.
[ویرایش] مسائل ریاضی
- مهم ترین مسأله ها و قضیه های ریاضی، شکلیارسکی/چنتسوف/یاگلوم، انتشارات مجید/انتشارات فردوس، چاپ دوم 1374، ترجمهٔ پرویز شهریاری و ابراهیم عادل.
- مسأله های دشوار ریاضی، کنسانتین شاخنو، انتشارات فردوس، چاپ سوم 1374، ترجمه.
- مسابقه ها، کنکورها و المپیادهای ریاضی، انتشارات جاودان خرد، چاپ اول 1372، تألیف.
- گزیدهٔ مسأله های تازه و بکر مقدماتی ریاضیات، و. پلاتونف/ک. ر. لیوک/و. زارتسکی/ن. مدتلسکی/ل. توتایف، نشر پژواک کیوان، چاپ اول 1382، ترجمه.
- مسائل مسابقات ریاضی، وا. س. کوشچنکو، انتشارات امیرکبیر، چاپ هشتم 1365، ترجمه.
- روشهای مثلثات (با همکاری آقای فیروز نیا)، انتشارات خوارزمی ،سالهای پنجاه، تالیف.
- تمرینها و مسائل آنالیز ریاضی *، ب.ب.دميدوويچ، انتشارات امیرکبیر، چاپ ششم 1382، ترجمه.
- مسالههای ریاضی، آسان ولی...، انتشارات توکا، ۱۳۵۴، ترجمه.
- مسالههای المپیادهای مجارستان، انتشارات دانشجو، سالهای شصت، ترجمه.
- دربارهٔ حد، آ. آ. کیریلوف انتشارات آزاده، ۱۳۶۳، ترجمه.
- تئوری اعداد(250 مسألهٔ حساب)، نوشتهٔ واتسلاو سرپینسکی، انتشارات خوارزمی، چاپ اول آبان ماه 1349، چاپ دوم شهریور ماه 1369، چاپ سوم تیر ماه 1377.
- مسالههای المپیادهای آمریکا،(با همکاری آقای عادل)، نشر بردار،۱۳۶۸، ترجمه.
- المپیاد ریاضی لنینگراد (از سال 1961 به بعد)، د. و. فومین، چاپ اول انتشارات اینشتین 1374، چاپ دوم نشر گستره 1379، ترجمه.
- المپیادهای بین الملی (با همکاری آقای عادل)، انتشارات فاطمی، ۱۳۶۸، ترجمه و تالیف.
- مسالههای المپیادهای ریاضی در کشورهای مختلف، انتشارات فردوس، ۱۳۶۸، ترجمه.
- آمادگی برای المپیادهای ریاضی، انتشارات فاطمی، ۱۳۶۹، ترجمه.
- مساله با حل (با همکاری اقایان امامی. حریرچی)،سالهای چهل، تالیف و ترجمه.
- دوره اختصاصی جبر مقدماتی، سالهای چهل، انتشارات امیرکبیر، ترجمه.
- مسائل امتحانی جبر چهارم دبیرستانهای کشور با حل، انتشارات امیر کبیر،۱۳۴۴، تالیف.
- مسائل امتحانی جبر پنجم دبیرستانهای کشور با حل، انتشارات امیر کبیر، ۱۳۴۴، تالیف.
- تست حساب استدلالی (با همکاری آقایان امامی و قوام زاده)، انتشارات امیر کبیر، ۱۳۴۳، تالیف
- مسائل جبر و راهنمای حل آنها برای کلاسهای کنکور (با همکاری آقای امامی)،انتشارات امیر کبیر ،سالهای چهل، تالیف
- مسائل مثلثات و راهنمای حل آنها برای داوطلبان کنکور (با همکاری آقای امامی) ،انتشارات امیر کبیر ،سالهای چهل، تالیف.
- مسائل هندسه و راهنمای حل آنها برای داوطلبان کنکور (با همکاری آقای ازگمی)، انتشارات امیر کبیر،سالهای چهل، تالیف.
- تستهای ریاضیات (با همکاری آقای تقوی)،انتشارات امیر کبیر ،سالهای پنجاه، تالیف.
- تئوری اعداد (با همکاری آقای قوام زاده)، انتشارات امیر کبیر ،سالهای پنجاه، تالیف.
- حل مسائل آنالیز (با همکاری آقایان امامی و عصار)، انتشارات دانشگاه تهران ،سالهای پنجاه، تالیف.
- تست ریاضیات (با همکاری آقایان امامی و قوام زاده)، انتشارات امیرکبیر،۱۳۵۰، ترجمه.
- مسالههای ریاضیات عمومی با حل (با همکاری آقای امامی)، انتشارات امیر کبیر،۱۳۵۳، تالیف.
- مسالههای کنکور شوروی، انتشارات پویش، ۱۳۶۱، ترجمه.
[ویرایش] سرگرمی در ریاضیات
- سرگرمیهای هندسه، ی. ای. پرلمان، انتشارات خوارزمی، ترجمه.
- سرگرمیهای جبر، ی. ای. پرلمان، انتشارات امیرکبیر، ترجمه.
- سرگرمیهای ریاضی، ی. ای. پرلمان، ترجمه.
- ۱۷۵ مسألهٔ منطقی *، دی یر دبیزام/یانوش هرتسگ، نشر نی، چاپ اول ۱۳۶۶، چاپ دوم 1374، ترجمه.
- سرگرمی های توپولوژی (توپولوژی عمومی) *، استفن بار، نشر نی، چاپ دوم 1374، ترجمه.
- در پی فیثاغورث *، ش. النسکی، انتشارات امیرکبیر، چاپ پنجم 1384، ترجمه.
- در قلمرو ریاضیات، آ. پ. دوموریاد، انتشارات امیر کبیر، چاپ اول 1348، چاپ دوم 1363، ترجمه.
[ویرایش] رمان یا فیزیک یا تاریخِ نجوم یا غیره
- باد و باران زاهاريا استانکو(رمان دو جلدی)
- کتابی در باره کتاب، سرگی لهوو
- داستانهای علمی، مارک تواين/ ايزاک آسيموف...، انتشارات فردوسی، چاپ اول خرداد 1361، ترجمه.
- علم، جامعه و انسان، جلد یک و دو، انتشارات هدهد، چاپ اولِ جلد دوم خرداد 1360، ترجمه و تألیف.
- یک روز زندگی پسرک قبطی، ماتیو، انتشارات توکا، ترجمه.
- اخلاق و انسان، الگانا تانونا کروتووا، انتشارات فردوسی، چاپ دوم 1361، ترجمه.
- نظريهٔ نسبيت در مسئله ها و تمرين ها *، الکسی نيکلايه ويچ مالينين، نشر نی، چاپ دوم 1374، ترجمه.
- در جستجوی هماهنگی، اُلِگ موروز، نشر مهاجر، چاپ اول 1382، ترجمه.
[ویرایش] درباره پرویز شهریاری
- سالها باید که تا... جشننامه استاد پرویز شهریاری، به کوشش دکتر رقیه بهزادی، انتشارات فردوس، 1382.
- پس از چهل سال: زندگی نامه استاد پرویز شهریاری، نویسنده: ابوالقاسم پورحسینی، نشر مهاجر، چاپ اول 1380.
- ستارهٔ اعداد (پرویز شهریاری) کیست و چه کرد؟، سیدعلی صالحی، انتشارات تهران.
[ویرایش] بنیاد فرهنگی پرویز شهریاری
بنیاد فرهنگی پرویز شهریاری در مرداد 1384 به شمارهٔ 18532 در ادارهٔ ثبت شرکتها و مؤسسات غیر تجاری تهران به ثبت رسید.
[ویرایش] هدف های بنياد
- كوشش در گسترش فرهنگ ايرانی و شناساندن آن از راه گردآوری نوشته ها و گفتارهای دانشمندان ايرانی و دانشمندان كشورهای ديگر و برگردان نوشته های آنان به زبان فارسی.
- بررسی و پژوهش در فرهنگ ويژه كشورهای ديگر و برگردان و بازگوئی كارهای فرهنگی و هنری سزاوار و هماهنگ با فرهنگ ايرانی.
- تهيه و انتشار زندگی نامه های انديشمندانی كه در پيشرفت فرهنگ و تمدن ايرانی–اسلامی كار كرده اند.
- برپايی كتابخانه ها و موزه ويژه فرهنگ و ادب، دانش های تجربی و پايه – پخش و انتشار روزنامه، ماهنامه های ادبی و دانش های گوناگون و برپايی نمايشگاه ها و جشنواره های فرهنگی و هنری و ...
[ویرایش] سرمايهٔ بنياد
نخستين سرمايه ارزنده بنياد، كتابخانه بزرگ استاد پرويز شهرياری است كه با بيش از چهل هزار جلد كتاب در اختيار بنياد گذاشته اند تا پس از فراهم آوردن جايی در خور، كتابخانه و موزهٔ وابسته به آن برپا شود[۵].
[ویرایش] منابع
کتابِ «زندگینامه و خدمات علمی و فرهنگی پرویز شهریاری»
- ↑ نشریهٔ چیستا، سال بیست و سوم، شمارهٔ 10، شمارهٔ ردیف 230، تیر 85، ص 840.
- ↑ نشریهٔ چیستا، سال بیست و سوم، شمارهٔ 10، شمارهٔ ردیف 230، تیر 85، ص 836.
- ↑ http://www.tchissta.com/Tchissta/TCHNo211/Tch211Page.html پرستو، نوشتهٔ پرویز شهریاری، نشریهٔ چیستا، سال بیست و دوم، شمارهٔ ردیف 211، مهرماه 1383، صص 114/115.
- ↑ http://www.tchissta.com/D&M/DMCurPage.html شناسنامهٔ نشریهٔ «دانش و مردم»، http://www.tchissta.com/Tchissta/TchCurPage.html شناسنامهٔ نشریهٔ چیستا.
- ↑ http://p-shahriari.spaces.live.com/blog/cns!A4451EA775C00A2F!126.entry بنیاد فرهنگی پرویز شهریاری
| Algorithms | |
| Ackerman's function | تابع اَكرمن |
| Ackermann's function | تابع اَكرمن |
| adaptive heap sort | مرتبساز هرمي تطابقي  |
| address-calculation sort | مرتبساز محاسبهگر آدرس |
| algorithm B | الگوريتم بي |
| array merging | ادغام آرايه |
| balanced k-way merge sort | مرتبساز ادغامي k-راهي متوازن |
| balanced merge sort | مرتبساز ادغامي متوازن |
| balanced multiway merge | ادغام چندراهي متوازن |
| balanced quicksort | مرتبساز سريع متوازن |
| balanced two-way merge sort | مرتبساز ادغامي دوراهي متوازن |
| Bellman-Ford algorithm | الگوريتم بلمن-فورد |
| best first search | جستوجوي بهتراوّل |
| bidirectional bubble sort | مرتبساز حبابي دوجهته |
| bin sort | مرتبساز سطلي |
| binary GCD algorithm | الگوريتم بمم دودويي |
| binary insertion sort | مرتبساز درجي دودويي |
| binary search | جستوجوي دودويي |
| bingo sort | مرتبساز بينگو |
| bottom-up radix sort | مرتبساز مبنايي پايين به بالا |
| branch and bound | انشعاب و حد |
| breadth first search | جستوجوي سطحاوّل |
| brick sort | مرتبساز خشتي |
| bubble sort | مرتبساز حبابي |
| bucket sort | مرتبساز سطلي |
| Chinese remainder theorem | قضيهي باقيماندهي چيني |
| Christofides algorithm | الگوريتم كريستفايد |
| Christofides heuristic | مكاشفهي كريستفايد |
| comb sort | مرتبساز شانهاي |
| counting sort | مرتبساز شمارشي |
| DAG shortest paths | كوتاهترين مسيرها در گراف بيدور جهتدار |
| delete | حذف |
| depth first search (DFS) | جستوجوي عمقاوّل |
| derangement | پريش |
| Deutsch-Jozsa algorithm | الگوريتم دويچ-جوزا |
| Dijkstra's algorithm | الگوريتم دايكسترا |
| diminishing increment sort | مرتبساز شانهاي |
| distribution sort | مرتبساز توزيعي |
| Doomsday rule | قانون روز رستاخيز (روزشمار) |
| double-direction bubble sort | مرتبساز حبابي دوجهته |
| double hashing | درهمسازي مضاعف |
| Euclid's algorithm | الگوريتم اقليدس |
| Euclidean algorithm | الگوريتم اقليدسي |
| exchange sort | مرتبساز تعويضي |
| extended Euclid's algorithm | الگوريتم اقليدس گسترشيافته |
| external memory algorithm | الگوريتم حافظهي خارجي |
| external merge | ادغام خارجي |
| external merge sort | مرتبساز ادغامي خارجي |
| external quicksort | مرتبساز سريع خارجي |
| external radix sort | مرتبساز مبنايي خارجي |
| Ferguson-Forcade algorithm | الگوريتم فرگوسن-فُركيد |
| finite Fourier transform | تبديل فوريهي متناهي |
| flash sort | مرتبساز پرتوي |
| Floyd-Warshall algorithm | الگوريتم فلويد-وارشال |
| Ford-Bellman | فورد-بِلمن |
| Ford-Fulkerson method | روش فورد-فاكرسن |
| greatest common denominator (GCD) | بزرگترين مخرج مشترك |
| greatest common divisor | بزرگترين مقسومعليه مشترك |
| Grover's algorithm | الگوريتم گراوِر |
| hash | درهمسازي |
| hash function | تابع درهمساز |
| heap sort | مرتبساز هرمي |
| histogram sort | مرتبساز نمودار ستوني |
| Horner's rule | قانون هورنر |
| ideal merge | ادغام ايدهآل |
| in-place sort | مرتبساز درجا |
| insertion sort | مرتبساز درجي |
| interpolation sort | مرتبساز درونيابي |
| intro sort | مرتبساز خودآزما |
| introspection sort | مرتبساز خودآزما |
| introspective sort | مرتبساز خودآزما |
| j sort | مرتبساز j |
| Johnson's algorithm | الگوريتم جانسون |
| k-way merge sort | مرتبساز ادغامي k-راهي |
| Karnaugh map | نقشهي كارنو |
| Kruskal's algorithm | الگوريتم كروسكال |
| KV diagram | نمودار كِيوي |
| linear insertion sort | مرتبساز درجي خطي |
| linear probing sort | مرتبساز وارسي خطي |
| merge sort | مرتبساز ادغامي |
| model checking | بررسي مدل |
| nonbalanced merge | ادغام نامتوازن |
| nonbalanced merge sort | مرتبساز ادغامي نامتوازن |
| noniterative merge | ادغام غيرتكراري |
| optimal polyphase merge | ادغام چندمرحلهاي بهينه |
| optimal polyphase merge sort | مرتبساز ادغامي چندمرحلهاي بهينه |
| oscillating merge sort | مرتبساز ادغامي نوساني |
| p-way merge sort | مرتبساز ادغامي p-راهي |
| polyphase merge | ادغام چندمرحلهاي |
| polyphase merge sort | مرتبساز ادغامي چندمرحلهاي |
| postman's sort | مرتبساز پستچي |
| Prim's algorithm | الگوريتم پريم |
| q sort | مرتبساز q |
| qm sort | مرتبساز qm |
| quick sort | مرتبساز سريع |
| quicksort | مرتبساز سريع |
| radix sort | مرتبساز مبنايي |
| random number | اعداد تصادفي |
| random number generator (RNG) | مولد اعداد تصادفي |
| randomized rounding | گرد كردن تصادفي |
| range sort | مرتبساز بازهاي |
| selection sort | مرتبساز انتخابي |
| shell sort | مرتبساز صدفي |
| Shell sort | مرتبساز صدفي |
| Shor's algorithm | الگوريتم شور |
| simple merge | ادغام ساده |
| sink sort | مرتبساز فروبرنده |
| sinking sort | مرتبساز فروبرنده |
| sorting algorithm | الگوريتم مرتبسازي |
| square root | ريشهي دوم |
| stooge sort | مرتبساز سادهلوحانه |
| three-way merge sort | مرتبساز ادغامي سهراهي |
| top-down radix sort | مرتبساز مبنايي بالا به پايين |
| tree sort | مرتبساز درختي |
| two-way merge sort | مرتبساز ادغامي دوراهه |
| union of automata | اجتماع اتوماتا |
| Veitch diagram | نمودار ويتچ |
| Viterbi algorithm | الگوريتم ويتربي |
| weak-heap sort | مرتبساز هرمي ضعيف |
.: Weblog Themes By Pichak :.